數(shù)理方程課件.ppt

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1、第三章分離變量法分離變量法是求解線(xiàn)性偏微分方程定解問(wèn)題的普遍方法之一，它適用于各種類(lèi)型的偏微分方程?；舅枷胧菍⒍嘣瘮?shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是：首先求出具有變量分離形式且滿(mǎn)足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線(xiàn)性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿(mǎn)足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過(guò)變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)題.為此，我們首先給出二階線(xiàn)性常微分方程求解公式。二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為y”+py’+qy=0特征方程：r2+pr+q=0特征根：r1和r2.當(dāng)r1≠r2都是實(shí)根時(shí)，其通解為y(x)=Aexp(r1x

2、)+Bexp(r2x)r1、r2是兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，其通解為y(x)=Aexp(rx)+Bxexp(rx)r1,2=α±iβ是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),其通解為y(x)=exp(αx)(Acosβx+Bsinβx)預(yù)備知識(shí)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉展開(kāi)定理：周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)，展開(kāi)式系數(shù)為狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。預(yù)備知識(shí)傅立葉級(jí)數(shù)推廣若函數(shù)f(t)的周期為T(mén)=2L，則傅里葉展開(kāi)式為1.有界弦的自由振動(dòng)例1.研究?jī)啥斯潭ň鶆虻淖?/p>

3、由振動(dòng).定解問(wèn)題為：特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①由不恒為零，有：取參數(shù)④②…..……..③④利用邊界條件則⑤特征值問(wèn)題參數(shù)稱(chēng)為特征值.分三種情形討論特征值問(wèn)題的求解函數(shù)X(x)稱(chēng)為特征函數(shù)由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C2=0從而，無(wú)意義.無(wú)意義由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得再求解T：其解為所以?xún)啥斯潭ㄏ冶镜恼髡駝?dòng)疊加…….⑤代入初始條件得：將展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得定解問(wèn)題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x＝0和x=l處的第一類(lèi)齊次邊界條件決定的。則無(wú)窮級(jí)數(shù)解為如下混合問(wèn)題的解上，，且定理：若在

4、區(qū)間解：令,得化簡(jiǎn):引入?yún)?shù)得例2：研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng)問(wèn)題.第二類(lèi)邊界條件得C1=C2=0從而，無(wú)意義分離變量：時(shí)，由邊值條件(ii)時(shí),,(iii)時(shí),則而由邊值條件由邊值條件從而本征值本征函數(shù)T的方程其解為所以故代入初始條件:將展開(kāi)為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得解為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，由端點(diǎn)處的二類(lèi)齊次邊界條件決定.2.有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題對(duì)于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題,其解題過(guò)程和波動(dòng)方程的過(guò)程類(lèi)似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.其中為給定的函數(shù).例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問(wèn)題當(dāng)時(shí),由邊界條件從而特征函數(shù)為：T的方程解得所以將疊加

5、,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)分離變量流程圖例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線(xiàn)垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周?chē)橘|(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。解：定解問(wèn)題為設(shè)且得本征值問(wèn)題由及齊次邊界條件，有當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),由得由得故即令有函數(shù)方程ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無(wú)窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明函數(shù)系在上正交由初始條件得將展成以為基底的付氏級(jí)數(shù)，確定（二）利用邊界條件,得到特征值問(wèn)題并求解（三）將特征值代入另一常微分方程，得到（四）將疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程

6、化為常微分方程－－（方程齊次）分離變量法解題步驟－－（邊界條件齊次）分離變量法適用范圍：偏微分方程是線(xiàn)性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。注復(fù)習(xí)分離變量法：求解下列定解問(wèn)題解：設(shè)代入方程，得令代入邊界條件得特征值問(wèn)題求得特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為類(lèi)似地,我們得到其特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為及特征值問(wèn)題記代入關(guān)于t的方程上述方程通解為于是得到利用疊加原理,得到定解問(wèn)題的形式解其中系數(shù)下面,我們利用初始條件確定系數(shù)由于三角函數(shù)系的正交性,得