資源描述：
《《數(shù)值》數(shù)值積分講解課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四章數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分是數(shù)值計算的重要部分，它是求定積分的一種近似方法,具有實際意義.§4.1數(shù)值積分的一般概念數(shù)值求積公式討論如下形式的數(shù)值求積公式(4.1.1)稱為機械求積公式.其中Hi(i=0,1,2,…n)稱為求積系數(shù)，xi(i=0,1,2,…n)稱為求積節(jié)點.稱為求積公式的余項.數(shù)值積分問題可分解為如下三個問題:(1)精確性程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)問題；(2)求積公式具體構(gòu)造問題；(3)余項估計問題.求積公式的代數(shù)精度定義若求積公式(4.1.1)對所有次數(shù)不超過m的多項式都精確成立，而對于某個m+1次多項式不能精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.上述定義等
2、價于：若求積公式(4.1.1)對f(x)=1,x,x2,…,xm均精確成立，而對f(x)=xm+1不精確成立,則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.代數(shù)精度的概念是衡量求積公式精確性的標(biāo)準(zhǔn).插值型求積公式以給定互異點x0,x1,…,xn為插值節(jié)點,作f(x)的n次插值多項式φn(x),把φn(x)寫成Lagrange插值多項式的形式求積系數(shù)對于求積公式如果求積系數(shù)(4.1.3)則稱(4.1.1)為插值型求積公式.其余項若公式(4.1.1)是插值型求積公式，則它至少具有n次代數(shù)精度.反之，若求積公式(4.1.1)至少具有n次代數(shù)精度，因lk(x)?Mn,k=0,1,2,
3、?,n.求積公式(4.1.1)對lk(x)精確成立，即綜上有定理求積公式(4.1.1)至少具有n次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的.§4.2Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式將區(qū)間[a,b]n等分，其分點為xi=a+ih，i=0,1,2,?,n，h=(b-a)/n，以這n+1個等距分點為插值節(jié)點,作n次插值多項式求積系數(shù)Newton-Cotes系數(shù)作變量替換x=a+th，于是記(4.2.1)稱為牛頓—柯特斯（Newton-Cotes）系數(shù).則Hi=(b-a)Ci(n)(4.2.1)Newton-Cotes公式(4.2.3)稱等距節(jié)點的插值型求積公式(4.2.
4、3)為n階牛頓—柯特斯（Newton-Cotes）公式.當(dāng)n=1時,Newton-Cotes公式(4.2.3)為梯形求積公式(4.2.4)H0=H1=(b-a)/2,C0=C1=1/2幾何意義:用梯形面積近似代替曲邊梯形面積.當(dāng)n=２時,Newton-Cotes公式(4.2.3)為拋物線(Simpson)求積公式(4.2.5)H0=H2=(b-a)/6,H1=2(b-a)/3,C0=C2=1/6,C1=2/3當(dāng)n=4時,Newton-Cotes公式(4.2.3)為Cotes公式公式(4.2.6)H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90,H2=12(b-a)/9
5、0,C0=C4=7/90,C1=C3=32/90,C2=12/90.其它情形可通過查Cotes系數(shù)表，給出具體公式.Newton-Cotes公式的收斂性定理對于n+1個節(jié)點的Newton-Cotes公式的求積系數(shù)Hk,當(dāng)n??時,數(shù)列無限放大.定理如果當(dāng)n??時,與插值型求積公式(4.1.1)相應(yīng)的數(shù)列無限放大，則有函數(shù)f(x)?C[a,b]，使得數(shù)列不收斂于此定理說明Newton-Cotes公式并不總是收斂于積分的真值.Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性設(shè)精確值為f(xj)的計算值為，且那么若每個Hi(i=0,1,2,?,n)都為正,則這時數(shù)值計算是穩(wěn)定的.若Hi有正有負(fù),則
6、且隨n的增大無限放大，這時數(shù)值計算是不穩(wěn)定的.當(dāng)n=8時，Newton-Cotes公式中求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù).實際計算并不用高階Newton-Cotes公式，一方面余項含高階導(dǎo)數(shù)；另一方面其收斂性、穩(wěn)定性都差.Newton-Cotes公式的余項對于n階的Newton-Cotes公式當(dāng)n為奇數(shù)時，若f(x)?Cn+1[a,b],則當(dāng)n為偶數(shù)時，若f(x)?Cn+2[a,b],則Newton-Cotes公式的代數(shù)精度對于n階的Newton-Cotes公式當(dāng)n為奇數(shù)時，至少具有n次代數(shù)精度；當(dāng)n為偶數(shù)時，至少具有n+1次代數(shù)精度.梯形求積公式的代數(shù)精度為1.拋物線求積公式的代數(shù)精度為3梯形求積
7、公式的余項定理１若f(x)?C2[a,b],則梯形求積公式有余項估計(4.2.7)證由插值余項定理知等式兩邊積分得由于f(x)?C2[a,b]，且(x-a)(x-b)在[a,b]上非正(不變號),故根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點??(a,b),使拋物線求積公式的誤差定理２若f(x)?C4[a,b],則拋物線求積公式有余項估計(4.2.8)證拋物線求積公式的代數(shù)精度為3,為此構(gòu)造三次多項式P3(x)，滿足P3(a)=f(a),則等式兩邊從a到b積分得由于P
