線性空間與線性變換內(nèi)積空間課件.ppt

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1、課程概述《矩陣論》課程是專門(mén)為工科研究生開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程。《矩陣論》的內(nèi)容是根據(jù)國(guó)家教育部課程指導(dǎo)委員會(huì)關(guān)于工科研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求編寫(xiě)而成。《矩陣論》介紹的理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。《矩陣論》是工科研究生必備的核心基礎(chǔ)知識(shí)，是工科研究生的必修課。I.先修課程《矩陣論》主要以大學(xué)《線性代數(shù)》為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《線性代數(shù)》教材書(shū)為參考書(shū)?！毒仃囌摗愤€以大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》為先修課程，可以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》教材書(shū)為參考書(shū)。本課程假定讀者已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)上述兩門(mén)大學(xué)課程或已經(jīng)掌握相關(guān)的知識(shí)。

2、II.主要內(nèi)容課程主要包括以下六項(xiàng)內(nèi)容：(1)線性空間與線性變換；(2)內(nèi)積空間；(3)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；(4)矩陣分解；(5)范數(shù)理論及其應(yīng)用；(6)矩陣分析及其應(yīng)用。第1章：線性空間與線性變換內(nèi)容：線性空間的一般概念重點(diǎn)：空間結(jié)構(gòu)和其中的數(shù)量關(guān)系線性變換重點(diǎn)：其中的矩陣處理方法特點(diǎn)：研究代數(shù)結(jié)構(gòu)——具有線性運(yùn)算的集合。看重的不是研究對(duì)象本身，而是對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。研究的關(guān)注點(diǎn)：對(duì)象之間數(shù)量關(guān)系的矩陣處理。學(xué)習(xí)特點(diǎn)：具有抽象性和一般性。一.集合與映射集合集合：作為整體看的一堆東西.集合的元素：組成集合的事物.設(shè)S

3、表示集合，a表示S的元素，記為a∈S讀為a屬于S；用記號(hào)a?S表示a不屬于S.集合的表示：(1)列舉法51.1線性空間(LinearSpaces)例如空集合：不包含任何元素的集合，記為子集合：設(shè)表示兩個(gè)集合，如果集合都是集合的元素，即由，那么就稱的子集合，記為相等：即(2)特征性質(zhì)法6集合的交：集合的并：集合的和：例如數(shù)域數(shù)域：是一個(gè)含0和1,且對(duì)加，減，乘，除（0不為除數(shù)）封閉的數(shù)集.7例如：有理數(shù)域Q，實(shí)數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C.映射映射：設(shè)S與S’是兩個(gè)集合，一個(gè)法則（規(guī)則），它使S中的每個(gè)元素a都有S’中一個(gè)確定

4、的元素a’與之對(duì)應(yīng)，記為稱為集合S到S’的映射，a’稱為a在映射下的象，而a稱為a’在映射σ下的一個(gè)原象.8變換：S到S自身的映射.例如：將方陣映射為數(shù)將數(shù)映射為矩陣可看成變換。其中相等：設(shè)都是集合S到的映射，如果對(duì)于都有，則稱相等，記為.9乘法：設(shè)依次是集合S到，的映射，乘積定義如下是S到的一個(gè)映射.注：，（是的映射）二、線性空間的概念線性空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合）ExampleR3={x=（x1，x2，x3）T：xi?R}={空間中所有向量}定義向量的加法，數(shù)與向量的乘積。運(yùn)算封閉八條運(yùn)算律成立線性

5、空間=集合+兩種運(yùn)算（所成完美集合）Definition:(線性空間或向量空間)要點(diǎn)：集合V與數(shù)域F向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算（運(yùn)算之后的結(jié)果跑不出去）八條運(yùn)算律（能夠保證向量的混合運(yùn)算幾乎與數(shù)的運(yùn)算一樣完美）常見(jiàn)的線性空間Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x?F}運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量Fm?n={A=[aij]m?n：aij?F}；運(yùn)算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣Rm?n；Cm?n。F[t]n={f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1：ai?R}運(yùn)算：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘C[a，b]={f（x

6、）：f（x）在[a，b]上連續(xù)}運(yùn)算：函數(shù)的加法和數(shù)乘Example：V=R+，F(xiàn)=R，a?b=ab，??a=a?F=R或C不是線性空間的集合V={X=（x1，x2，1）T：xi?R}運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量要證明一個(gè)集合不是線性空間，定義中有很多漏洞可以攻擊。線性空間的一般性的觀點(diǎn)：線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的負(fù)元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)：0?=0，k0=0，k?=0??=0或k=0（4）??=（?1）?數(shù)0向量0三、向量組的探討（Review)向量的

7、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)：向量?可由?1，?2，…，?s線性表示;（其工作可由多人合力完成）向量組?1，?2，…，?s線性無(wú)關(guān)任何一個(gè)向量不能由其余向量線性表示要使k1?1+k2?2+…+ks?s=0,只有系數(shù)都為0向量組?1，?2，…，?s線性相關(guān)其中一個(gè)向量可以由其余向量線性表示要使k1?1+k2?2+…+ks?s=0,必須有非零系數(shù)三、向量組的探討（Review)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組：?1，?2，…，?s為向量組A的一個(gè)部分組（精英組合）滿足向量組?1，?2，…，?s線性無(wú)關(guān)（彼此工作不可替代）任意A的向量可以

8、由?1，?2，…，?s線性表示（公司的任何人的工作可由精英組合完成）向量組的秩(rank)：最大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)四、線性空間的基和維數(shù)抽象的線性空間的元素稱之為向量(vector)所有的線性空間中的向量的線性相關(guān)性定義和Rn一樣：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關(guān)性質(zhì)與定理和Rn中的結(jié)果一樣。因此，要研究線性空間，只需要研究它的最大線性無(wú)關(guān)組----即為基(bas