資源描述：
《貝塞爾曲線和B樣條曲線.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、;.§4.3貝塞爾曲線和B樣條曲線在前面討論的拋物樣條和三次參數(shù)樣條曲線，他們的共同特點是：生成的曲線通過所有給定的型值點。我們稱之為“點點通過”。但在實際工作中，往往給出的型值點并不是十分精確，有的點僅僅是出于外觀上的考慮。在這樣的前提下，用精確的插值方法去一點點地插值運算就很不合算；另外，局部修改某些型值點，希望涉及到曲線的范圍越小越好，這也是評價一種擬合方法好壞的指標之一。針對以上要求，法國人Bezier提出了一種參數(shù)曲線表示方法，稱之為貝塞爾曲線。后來又經(jīng)Gorgon,Riesenfeld和Forrest等人加以發(fā)展成為B樣條曲線。一、貝塞爾曲線貝塞爾曲線是通過一組多
2、邊折線的各頂點來定義。在各頂點中，曲線經(jīng)過第一點和最后一點，其余各點則定義曲線的導數(shù)、階次和形狀。第一條和最后一條則表示曲線起點和終點的切線方向。1.數(shù)學表達式n+1個頂點定義一個n次貝塞爾曲線，其表達式為：np(t)piBi,n(t)0t1i0pi(i0,1,2,...,n)為各頂點的位置向量，Bi,n(t)為伯恩斯坦基函數(shù)Bi,n(t)n!ti(1t)nii!(n1)!2.二次貝塞爾曲線需要3個頂點，即p0,p1,p2，將其代入曲線表達式：p(t)p0B0,2p1B1,2p2B2,2;..;.B0,22!t0(1t)20(1t)212tt20!(20)!B1,22!t1(
3、1t)212t(1t)2t2t21!(21)!B2,22!t2(1t)22t22!(22)!p(t)(12tt2)p0(2t2t2)p1t2p2121p0t2t1220p10t1100p2p(t)2(t1)p02(12t)p12tp2p(0)2p02p12(p1p0)p(0)p0p(1)2p12p22(p2p1)p(1)p2當t1時：2111111111p2(1224)p0(2224)p14p24p02p14p21[p11(p0p2)]22p12(11)p02(121)p121p2p2p02222;..;.3.三次貝塞爾曲線三次貝塞爾曲線需要4個點，即p0、p1、p2、p3。
4、p(t)p0B0,3(t)p1B1,3(t)p2B2,3(t)p3B3,3(t)其中：B0,33!0)!t0(1t)30(1t)313t3t2t30!(3B1,33!1)!t1(1t)313t(1t)23t6t23t31!(3B2,33!2)!t2(1t)323t2(1t)13t23t32!(3B3,33!3)!t3(1t)33t33!(3p(t)(13t3t2t3)p0(3t6t23t3)p1(3t23t3)p2t3p31331p0p(t)t3t2t13630p10t13300p21000p3貝塞爾曲線特點：1.n個頂點定義n-1次曲線，當頂點數(shù)較大時，擬合的曲線階次太高。
5、2.任一頂點對整條曲線的形狀都有關(guān)系，不利于局部修改。二、B樣條曲線用B樣條曲線基函數(shù)替代伯恩斯坦基函數(shù)。1.數(shù)學表達式通常，給定m+n+1個頂點pi(i0,1,,mn)可以定義m+1段n次參數(shù)函數(shù)為：npi,n(t)pikFk,n(t)（0t1），(i0,1,,m)k0其中Fk,n(t)為B樣條分段混合函數(shù)，形式為：;..;.1nkjj(tnkj)Fk,n(t)(1)Cn1n!j0?段數(shù)、次數(shù)段數(shù)=節(jié)點數(shù)-次數(shù)，每段曲線與n+1個點有關(guān)；?Cmnm!n!(mn)!2.二次B樣條曲線n=2,k=0,1,2pi(t)piF0,npi1F1,npi2F2,n120jj(t20j)
6、2F0,n(1)C32!j01[(1)03!(t2)2(1)13!(t1)2(1)23!t220!(30)!1!(31)!2!(32)!1(t1)22F1,2121(1)jj(t21j)22jC301[(1)03!(t1)2(1)13!(t11)2]20!(30)!1!(31)!1(2t22t1)2F2,210jj(t22j)21(1)03!t2122j(1)C321!(3t01)!2pi(t)1(t1)2pi1(2t22t1)pi11t2pi2222pi(t)(t1)pi(2t1)pi1tpi2p(0)1(pipi1)21p(1)(pi1pi2)p(0)pi1pip(1)p
7、i2pi1;..;.111p(){[p(0)p(1)]pi1}222p(1p(1)p(0))23.三次B樣條曲線n=3,k=0,1,2,33pi(t)pikFk,3(t)F0,3B0F1,3B1F2,3B2F3,3B3k0其中Fk,31nk(1)jCnj1(tnkj)n，Bl(l0,1,2,3)稱為特征多邊形。3!j0F0,313(1)jj(t3j)33!C4j01[(1)04!(t3)3(1)14!(t2)3(1)24!(t1)3(1)34!t360!(40)!1!(41)!2!(42)!3!(43)
