蒙特卡羅方法.doc

《蒙特卡羅方法.doc》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、蒙特卡羅方法一、蒙特卡羅方法概述蒙特·卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法這種方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計(jì)算方法，但與一般數(shù)值計(jì)算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事

2、物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。蒙特·卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。1．歷史起源蒙特卡羅方法于20世紀(jì)40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”計(jì)劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼首先提出。數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。1777年，法國Buffon提出用投針

3、實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率∏。這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源。2.蒙特卡羅方法的基本思想二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。但其基本思想并非新穎，人們在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想

4、。當(dāng)隨機(jī)變量的取值僅為1或0時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望就是某個(gè)事件的概率?；蛘哒f，某種事件的概率也是隨機(jī)變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。因此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望通過某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r1，r2，…，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計(jì)值（近似值）。為了得到具有一定精確度

5、的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀(jì)四十年代以來，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過電子計(jì)算機(jī)來模擬隨機(jī)試驗(yàn)過程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。經(jīng)典算例及計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程例1.蒲豐氏問題為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（l＜a）的平行線

6、相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式求出π值其中Ｎ為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。解：設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。針在平行線間的位置任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是如何產(chǎn)生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為：類似地，θ的分布密度函數(shù)為：因此

7、，產(chǎn)生任意的（x,θ）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2(θ)抽樣θ的過程了。由此得到：其中ξ1，ξ2均為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量。每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,θ），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,θ)，為如果投針Ｎ次，則是針與平行線相交概率Ｐ的估計(jì)值。事實(shí)上，于是有二、蒙特卡羅方法的收斂性，誤差蒙特卡羅方法作為一種計(jì)算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個(gè)重要問題。1、收斂性由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡單子樣X1，X2，…

8、，XN的算術(shù)平均值：作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則即隨機(jī)變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。2、誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差