數(shù)學(xué)模型試題2006-2007-1-A-ans.doc

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1、天津理工大學(xué)考試試卷2006～2007學(xué)年度第一學(xué)期《數(shù)學(xué)模型》期末考試試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程代碼：試卷編號(hào)：1-A命題日期：2006年12月8日答題時(shí)限：90+60分鐘考試形式：開卷、筆試+機(jī)試得分統(tǒng)計(jì)表：大題號(hào)總分一二三四五一、填空題（每小題4分，共16分,必答題）得分（1）．建立數(shù)學(xué)模型的全過程是一個(gè)由表述、求解、解釋、驗(yàn)證的迭代過程，其中表述是指：根據(jù)建模的目的和掌握的信息，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言確切地表述出來；求解是指：選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求的數(shù)學(xué)模型的解答；解釋是指：把數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯回現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出實(shí)際問題的解答

2、；驗(yàn)證是指：用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到解答，以確認(rèn)結(jié)果的正確性。(2)“線性規(guī)劃”問題的基最優(yōu)解是指既是最優(yōu)解又是可行解的向量。其中可行解是指滿足約束條件的向量；最優(yōu)解是指使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的可行解。根據(jù)“基最優(yōu)解存在定理”，若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，則至少在某個(gè)基本最優(yōu)解上找到；若兩個(gè)解均是最優(yōu)解，則它們的凸組合也是最優(yōu)解，此時(shí)最優(yōu)解有無窮多個(gè)。(3)“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”的過程是一個(gè)多階段的決策過程。所遵循的最優(yōu)性原理是：最優(yōu)決策序列的每一個(gè)截?cái)嗳允亲顑?yōu)的。所謂“最優(yōu)軌線”是指：最優(yōu)決策序列從前往后所歷經(jīng)的狀態(tài)序列。求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的“

3、逆序算法”是指：依據(jù)基本方程，從后往前逐步遞推求得最優(yōu)決策序列或軌線的過程。(4)運(yùn)用“層次分析法”建立的數(shù)學(xué)模型一般是由目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層構(gòu)成的一個(gè)從上至下彼此關(guān)聯(lián)遞接的層次結(jié)構(gòu)。二、（本題14分）得分已知某寵物飼養(yǎng)基地飼養(yǎng)的種犬對(duì)飼料中的三種成分：蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)、維生素特別敏感，每只犬每天至少需要蛋白質(zhì)700克，鈣質(zhì)30克，維生素100毫克。由于目前市場(chǎng)上沒有專用飼料，該基地不得不從市場(chǎng)上購(gòu)買5種不同品牌的飼料S1、S2、S3、S4、S5加工成混合飼料，該買5種不同品牌的飼料料1千克中所含營(yíng)養(yǎng)成分及市場(chǎng)價(jià)格如下表所

4、示飼料營(yíng)養(yǎng)成分價(jià)格（元/千克）蛋白質(zhì)（克）鈣質(zhì)（克）維生素（毫克）S1310.52S2200.517S3100.20.24S46223S5180.50.85請(qǐng)建立用來確定：即能滿足該動(dòng)物生長(zhǎng)需要，又使總成本最低的混合飼料配方的數(shù)學(xué)模型，。（注：不必具體求解，但要寫出求解的MATLAB語句。）解：設(shè)每只犬每日所需混合飼料中含飼料S1、S2、S3、S4、S5的量分別為千克--2分目標(biāo)函數(shù)：min-----3分約束條件：-----10分;;;Aeq=[];beq=[];lb=[0;0;0;0;0;0];ub=[];[X,efla

5、g]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f=c*X----14分三、（本題共15分）得分某人外出旅游，需將12件物品有選擇地裝入行李袋，其最大負(fù)荷為30kg.若設(shè)第i件物品的重量為,使用價(jià)值為，試建立：能求使其所選物品使用價(jià)值最大的裝包方案的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。（要求：寫出階段變量、決策變量、狀態(tài)變量、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、階段評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)、過程評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)、逆向遞推的基本方程。）解：階段變量：決策變量：選擇第k件物品是否裝入------2分狀態(tài)變量：選擇第k件物品時(shí)行李袋中允許裝入的重量------4分狀態(tài)轉(zhuǎn)移方

6、程：，------6分階段評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)：---選擇選擇第k件物品的使用價(jià)值--8分過程評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)：選擇第個(gè)至第12個(gè)物品的總使用價(jià)值的最大值--10分逆向遞推的基本方程：---15分四.解答題（15分）得分(1)設(shè)衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球的質(zhì)量為M，地球半徑為R,,地球表面的重力加速度為g。若運(yùn)載火箭將衛(wèi)星送往離地面的距離為h的運(yùn)行軌道，求運(yùn)載火箭的末速度的計(jì)算公式。并計(jì)算h=600km時(shí)的末速度（重力加速度為）。(2)設(shè)一級(jí)火箭做垂直向上的直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻的飛行速度為，質(zhì)量為。初始質(zhì)量為，其中為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，為燃料的質(zhì)

7、量，為搭載衛(wèi)星的質(zhì)量?；鸺龂姵龅臍怏w相對(duì)于火箭的速度為常數(shù)。忽略重力和空氣阻力的影響，求飛行速度的計(jì)算模型。若，結(jié)構(gòu)比，計(jì)算燃料耗盡時(shí)刻的末速度，并由此證明了什么？解：（1）設(shè)地球?yàn)榫鶆虻那蝮w，其質(zhì)量為M全集中在地心衛(wèi)星在地表時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的引力等于衛(wèi)星的重量：（1）--1分衛(wèi)星在離地面的距離為h的運(yùn)行軌道上時(shí)，向心力=引力：（2）--3分由（1）式知：代入（2）式得：（3）--5分取，代入（3）得：--6分（2）火箭在到時(shí)刻的動(dòng)量的增量=消耗掉的燃料噴出氣體的動(dòng)量（4）--7分上式兩端取極限并化簡(jiǎn)得：解微分方程：得：（5

8、）--9分引入結(jié)構(gòu)比：，則由知當(dāng)火箭燃料消耗完畢時(shí)：此時(shí)火箭的末速度（6）--11分若火箭不搭載衛(wèi)星（）則（7）--13?。海耄?）式得：由于這說明：即使一級(jí)火箭不搭載任何質(zhì)量，它自己本身就達(dá)不到能使衛(wèi)星在離地面的距離為600km高度運(yùn)行的最低末速度，也就證明了：用一級(jí)火箭發(fā)射衛(wèi)星的不可能性。---