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《常微分方程的數(shù)值解法ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第7章常微分方程（組）的數(shù)值解法劉東毅天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系17:ODE第7章常微分方程（組）的數(shù)值解法主要目標(biāo)：掌握常微分方程初值問題數(shù)值解法的基本理論掌握計算機上的常用算法主要內(nèi)容：初值問題計算格式的建立Runge-Kutta方法一階常微分方程組與高階方程的數(shù)值解法27:ODE第7章常微分方程（組）的數(shù)值解法在科學(xué)研究和工程實踐中會遇到很多微分方程，雖然從理論上可以證明其解的存在性，但其解的解析表達式往往是很難求解的，或者即使可以寫出來，但也難于計算，此時，只能借助數(shù)值解來解決問題.常微分方程（組）定解問題是自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中常見的數(shù)學(xué)模型.本章介紹求解此類問
2、題的基本理論和數(shù)值解法。37:ODE定義7.0.1若存在常數(shù)L>0,使得對一切的x∈[a,b]及y,,均有則稱f(x,y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件,其中L稱為Lipschitz常數(shù).我們首先考慮一階常微分方程初值問題其中f(x,y)是區(qū)域上的實值函數(shù).(7.0.1)47:ODE我們首先給出常微分方程初值問題解的存在惟一性定理。定理假設(shè)f(x,y)∈C(D),且關(guān)于y滿足Lipschitz條件,則一階常微分方程初值問題(7.0.1)存在唯一解.下面在此前提下,我們討論上述初值問題(7.0.1)的數(shù)值解法。57:ODE然后在節(jié)點上建立逼近于原初值問題的計算格
3、式(或差分格式),由此計算出原問題的解y(x)在節(jié)點x1,x2,...,xN處的近似值：y1,y2,...,yN，稱它們?yōu)槌Ｎ⒎址匠坛踔祮栴}的數(shù)值解.相鄰兩個節(jié)點的距離hn=xn+1-xn稱為步長,通常取定步長h>0,即節(jié)點xn=x0+nh,n=0,1,…,N.其基本思想是在區(qū)間[a,b]上引入一系列節(jié)點67:ODE7.1初值問題計算格式的建立1.數(shù)值微分方法在等距節(jié)點下討論問題.利用兩點數(shù)值微分公式7.1.1計算格式的建立將上式代入初值問題(7.0.1)有(7.1.1)77:ODE略去余項,并以數(shù)值解yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),則得差分方程上式稱為
4、Euler公式.利用此式可由初值y0出發(fā)按“步進式”方法,逐步求得數(shù)值解y1,y2,...,yN.由于計算yn+1時,只用到它前一步的結(jié)果yn,這類公式稱為單步法.又因為其關(guān)于yn+1是顯式形式,故稱該Euler公式為顯格式.87:ODE如果利用下列數(shù)值微分公式由類似的可導(dǎo)出上述公式稱為后退的Euler公式,此公式為單步法公式.又因為它關(guān)于yn+1成隱式形式,所以該公式為隱式公式，簡稱隱格式.97:ODE類似地，可導(dǎo)出上述公式稱為Euler兩步法公式.這因為，當(dāng)計算yn+1時,要用到y(tǒng)n-1與yn.顯然它也是顯格式.如果利用下列三點數(shù)值微分公式(7.1.3)107:O
5、DE設(shè)y(x)∈C2[a,b],由Taylor公式有由于故上式即為略去余項,并以yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),得到的差分方程正是Euler公式.(7.1.4)2.Taylor展開法117:ODE3.數(shù)值積分方法對，在區(qū)間[xn,xn+1]上積分，得則有對上式中的積分采用不同的數(shù)值積分公式可得到不同的差分方程.例如,對上式的積分采用左矩形公式,可得到Euler公式.127:ODE若對此式的積分采用梯形公式,則有若略去余項,以yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),得到的差分方程137:ODE上式稱為梯形公式.由于它關(guān)于yn+1成隱式形式,故其為隱格
6、式.隱格式求解比較困難,當(dāng)yn已知時,要求yn+1，需解關(guān)于yn+1的非線性方程.在實際應(yīng)用時,上式常與Euler公式聯(lián)合使用,構(gòu)成如下計算格式:(7.1.6)147:ODE隱式梯形公式的迭代格式(7.1.7)由上式可以得到一個序列:,k=0,1,…,關(guān)于此序列的收斂性,有如下的定理.157:ODE定理7.1.1設(shè)f(x,y)在區(qū)域D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件,即其中L為Lipschitz常數(shù),當(dāng)步長時,對任意的初值按格式（7.1.7）生成的序列收斂于梯形公式（7.1.6）的解.167:ODE為了減少計算量,可采用預(yù)測-校正格式.方法是先用Euler公式求得一
7、個初始近似值稱為預(yù)測值,再把帶入梯形公式右端計算一次求得yn+1稱之為校正值,即預(yù)測:校正:上式稱為預(yù)測-校正公式或改進的Euler公式.上式也可寫成如下形式:177:ODE例7.1.1：利用Euler公式與改進的Euler公式求解初值問題（步長h=0.1）解：由步長h=0.1，知節(jié)點設(shè)數(shù)值解為利用Euler公式得187:ODE計算結(jié)果見下表(見書P227表7.1)此初值問題的解析解為,從上表可以看出,數(shù)值解yn與解析解y(xn)比較,yn精度較差.197:ODE解此問題的改進的Euler公式為同Euler公式比較,改進的Euler法顯然精度提高了.
