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《相似矩陣對稱矩陣的對角化ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念1.等價關(guān)系二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)Q?1BQ=CQ?1(P?1AP)Q=(PQ)?1A(PQ)=P?1AP=BQ?1BQ=C6.A~B?
2、A
3、=
4、B
5、，Am~Bm.7.P?1AP=B?A與B等價,R(A)=R(B).8.可逆矩陣A~B?A?1~B?1.P?1AP=B?P?1A?1P=B?1?(P?1AP)?1=B?1第五章特征值與特征向量二.矩陣相似的必要條件性質(zhì).P?1AP=B=
6、?I?B
7、
8、P
9、?1?
10、?I?A
11、?
12、P
13、=
14、P?1
15、?
16、?I?A
17、?
18、P
19、=
20、P?1(?I?A)P
21、=
22、(?
23、P?1I?P?1A)P
24、=
25、?P?1IP?P?1AP
26、=
27、?P?1P?B
28、?
29、?I?A
30、=
31、?I?B
32、.5§5.2矩陣的相似和對角化第五章特征值與特征向量二.矩陣相似的必要條件性質(zhì).P?1AP=B?
33、?I?A
34、=
35、?I?B
36、.?1+?2+…+?n?1?2…?n(???1)(???2)…(???n)=tr(A)==tr(B)
37、A
38、==
39、B
40、6§5.2矩陣的相似和對角化第五章特征值與特征向量二.矩陣相似的必要條件性質(zhì).P?1AP=B?
41、?I?A
42、=
43、?I?B
44、.推論.A~B?A與B有相同的特征值?tr(A)=tr(B),
45、A
46、=
47、B
48、.
49、B
50、
51、=
52、P?1AP
53、=
54、P?1
55、?
56、A
57、?
58、P
59、=
60、P
61、?1?
62、A
63、?
64、P
65、=
66、A
67、.7§5.2矩陣的相似和對角化例1.01x3~250y?0+3=2+y?x=2y?x=?2,y=1.第五章特征值與特征向量注意:特征多項式相同的矩陣未必相似?.例如A=1011,B=1001,假若P–1AP=B,則A=PBP–1=B.矛盾!
68、?I?A
69、=
70、?I?B
71、==(??1)2.??1?10??1=(??1)2.??100??18§5.2矩陣的相似和對角化推論若階方陣A與對角陣第五章特征值與特征向量三.相似對角化問題我們的目的是討論一個n階矩陣相似的問題，
72、希望相似的矩陣有最簡單的形式——對角矩陣，即是n階矩陣相似于一個對角矩陣的問題。n階矩陣A若能相似于一個對角陣,稱A可以對角化。定義5.2.210§5.2矩陣的相似和對角化問題：是否任意一個矩陣A都能對角化？三、利用相似變換將方陣對角化第五章特征值與特征向量證明§5.2矩陣的相似和對角化第五章矩陣的特征值、特征向量和相似§5.2矩陣的相似和對角化命題得證.13說明如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論如果A的特征方程有重根，此時不一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化，但如果能找到n個線性無關(guān)的特征向量，A還是
73、能對角化．例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.矩陣對角化的步驟：A能否對角化？若能對角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以可對角化.注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．四、小結(jié)１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算．相似變換是
74、對方陣進行的一種運算，它把A變成 ，而可逆矩陣稱為進行這一變換的相似變換矩陣．第四節(jié)對稱矩陣的對角化一、對稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣．(AT=A)定理1對稱矩陣的特征值為實數(shù).定理1的意義證明于是根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化 的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.解例對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四
75、步將特征向量單位化如何判斷?于是得正交陣解第一步 求A的特征值．由1.對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(1)特征值為實數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．作業(yè)P138—16,17,18
