數(shù)值分析作業(yè)答案.doc

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1、第2章插值法1、當(dāng)x=1，-1，2時(shí)，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多項(xiàng)式。（1）用單項(xiàng)式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。證明三種方法得到的多項(xiàng)式是相同的。解：（1）用單項(xiàng)式基底設(shè)多項(xiàng)式為:，所以：所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為：（2）用Lagrange插值基底Lagrange插值多項(xiàng)式為：所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為：(3)用Newton基底:均差表如下：xkf(xk)一階均差二階均差10-1-33/2247/35/6Newton插值多項(xiàng)式為：所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為：由以上計(jì)

2、算可知，三種方法得到的多項(xiàng)式是相同的。6、在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求ex的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過10-6，問使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少？解：以xi-1,xi,xi+1為插值節(jié)點(diǎn)多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差，則有式中令得插值點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，故實(shí)際可采用的函數(shù)值表步長(zhǎng)8、，求及。解：由均差的性質(zhì)可知，均差與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：所以有：15、證明兩點(diǎn)三次Hermite插值余項(xiàng)是并由此求出分段三次Hermite插值的誤差限。證明：利用[xk，xk+1]上兩點(diǎn)三次Hermite插值條件知有二重零點(diǎn)xk和k+1。設(shè)確定函數(shù)k(x):當(dāng)或xk+1時(shí)

3、k(x)取任何有限值均可；當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造關(guān)于變量t的函數(shù)顯然有在[xk,x][x,xk+1]上對(duì)g(x)使用Rolle定理，存在及使得在，，上對(duì)使用Rolle定理，存在，和使得再依次對(duì)和使用Rolle定理，知至少存在使得而，將代入，得到推導(dǎo)過程表明依賴于及x綜合以上過程有：確定誤差限：記為f(x)在[a,b]上基于等距節(jié)點(diǎn)的分段三次Hermite插值函數(shù)。在區(qū)間[xk，xk+1]上有而最值進(jìn)而得誤差估計(jì)：16、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式，使它滿足，，。解：滿足,的Hermite插值多項(xiàng)式為設(shè)，令得于是第3章曲線擬合的最小二乘法16、觀

4、測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：i012345時(shí)間t/s00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)t和s近似服從線性規(guī)律。故做線性模型，計(jì)算離散內(nèi)積有：，求解方程組得：，運(yùn)動(dòng)方程為：平方誤差：17、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差。解：，計(jì)算離散內(nèi)積有：，求解方程組得：，所求公式為：均方誤差：第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1、確定下列求積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并其代數(shù)

5、精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）；將分別代入公式兩端并令其左右相等，得解得。所求公式至少具有2次代數(shù)精確度。又由于故具有3次代數(shù)精確度。（2）分別代入公式兩端并令其左右相等，得解得：令，得令，得故求積分公式具有3次精確度。（3）當(dāng)時(shí)，易知有令求積分公式對(duì)準(zhǔn)確成立，即則解得或?qū)⒋胍汛_定的積分公式，則故所求積分式具有2次代數(shù)精確度。（4）當(dāng)時(shí)，有故令時(shí)求積公式準(zhǔn)確成立，即解得。將代入上述確定的求積分公式，有故所求積公式具有3次代數(shù)精確度。2、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下

6、列積分：（1）（2）（3）解（1）復(fù)化梯形公式，復(fù)化辛普森公式，（2），（3），5、推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：；；。解：（1）左矩形公式，將f(x)在a處展開，得兩邊在[a,b]上積分，得由于x-a在[a,b]上不變號(hào)，故由積分第二中值定理，有從而有（2）右矩形公式，同（1），將f（x）在b點(diǎn)處展開并積分，得（3）中矩形分式，將在處展開，得兩邊積分并用積分中值定理，得6、若分別使用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使截?cái)嗾`差不超過。解：由于由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)有：解得可取由辛普森公公式的余項(xiàng)有：解得可取8、用

7、龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過（1）；（2）；（3）。解：（1）00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717(2)03.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-21(3)18、用三點(diǎn)公式求在處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。的值由下表給出：1.01.11.20.25000.22680.2066解：三點(diǎn)求導(dǎo)公式為取表中，分別將有關(guān)數(shù)值代入上面三式，即可得

8、導(dǎo)數(shù)近似值。由于從而可求得誤差上限與導(dǎo)數(shù)值如下：X1.01.11.2三點(diǎn)公式-0.247-0.217-0.187誤差0.00250.001250.0025理論解-0.25-0.2159594-0.1878287數(shù)值積分法