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1、第四篇機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)第十五章阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振§15-1機(jī)械振動(dòng)的一般概念機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置的附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)(周期性或非周期性)成因：物體的慣性和所受的回復(fù)力簡諧振動(dòng):物體距平衡位置的位移(或角位移)隨時(shí)間按余弦(或正弦)函數(shù)變化§15-2簡諧振動(dòng)一.簡諧振動(dòng)的特征1.動(dòng)力學(xué)特征胡克定律:物體所受彈性力與物體的位移成正比而反向即----簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征2.運(yùn)動(dòng)學(xué)特征令速度位移----簡諧振動(dòng)表達(dá)式加速度即有----簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征說明：----簡諧振動(dòng)的振幅，為物體離開平衡位置最大位移的絕對(duì)值----簡諧振動(dòng)的初相位----簡諧振動(dòng)的相位----圓頻率(2?
2、秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù))討論：由初始條件可確定A和?：設(shè)t=0時(shí)，可得固有頻率和固有周期：----周期和頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，與A和?無關(guān)二.諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法t=0：t時(shí)刻參考圓振幅矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)O[例1]用旋轉(zhuǎn)矢量法討論質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻位移為以下情況時(shí)諧振動(dòng)的初相位：?A；?-A；?0，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；?-A/2，且向正方向運(yùn)動(dòng)解：???或?三.相位差和相位的超前與落后設(shè)相位差同頻率時(shí)----初相差與t無關(guān)討論：即----同相即----反相即----第二個(gè)諧振動(dòng)超前第一個(gè)諧振動(dòng)[例2]如圖的諧振動(dòng)x-t曲線，試求其振動(dòng)表達(dá)式解：由圖知設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為t=0時(shí)：即又即旋轉(zhuǎn)矢量法[例3]質(zhì)
3、量為0.01kg物體作周期為4s、振幅為0.24m的簡諧振動(dòng)。t=0時(shí),位移x=0.24m。求(1)諧振動(dòng)表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí),物體的位置和所受的力；(3)物體從初始位置運(yùn)動(dòng)至x=-0.12m處所需的最短時(shí)間解：(1)設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為其中由旋轉(zhuǎn)矢量法得(2)t=0.5s:或(3)[例4]一彈性系數(shù)為k的輕彈簧,下掛一質(zhì)量為m的砝碼。開始時(shí)用手托住砝碼,使彈簧為原長,放手后砝碼開始振動(dòng)。證明砝碼作諧振動(dòng),并寫出振動(dòng)表達(dá)式解：建立如圖坐標(biāo)系，原點(diǎn)為物體靜平衡時(shí)位置，它距彈簧原長位置為y0在y處時(shí)設(shè)則----得證設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為由旋轉(zhuǎn)矢量法得t=0時(shí)[例5]如圖系統(tǒng)，已知物體質(zhì)量為m，光滑斜
4、面傾角為?,自由轉(zhuǎn)動(dòng)的定滑輪半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,彈簧彈性系數(shù)為k。開始時(shí)物體靜止,彈簧為原長,重物下滑后開始振動(dòng)。(1)證明重物作諧振動(dòng),并寫出振動(dòng)表達(dá)式；(2)求重物下滑的最大距離,并用機(jī)械能守恒定律驗(yàn)證設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡時(shí)彈簧伸長x0取物體靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下建立坐標(biāo)系解：(1)物體振動(dòng)時(shí)可得----諧振動(dòng)其解為其中由旋轉(zhuǎn)矢量法得而(2)物體下滑的最大距離為由機(jī)械能守恒定律三.角諧振動(dòng)----單擺和復(fù)擺1.單擺由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有很小時(shí)有可得角諧振動(dòng)表達(dá)式其中2.復(fù)擺為角振幅由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有很小時(shí)有角頻率周期討論：單擺和復(fù)擺諧振動(dòng)的頻率由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定四.諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為
5、例:討論:彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能是隨時(shí)間(或位移)而變化的總的機(jī)械能保持不變，即動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比[例6]一水平放置的彈簧振子，質(zhì)量為m，彈性系數(shù)為k，當(dāng)它振動(dòng)時(shí)，在什么位置動(dòng)能和勢(shì)能相等？它從該位置到達(dá)平衡位置所需的最短時(shí)間為多少？解：(1)即因此(2)一.同方向同頻率諧振動(dòng)的合成1.代數(shù)法設(shè)有兩個(gè)諧振動(dòng)§15-4同方向諧振動(dòng)的合成由2.旋轉(zhuǎn)矢量法討論:合振動(dòng)仍然是簡諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)相同合振動(dòng)振幅不但與兩分振動(dòng)的振幅有關(guān)，而且與相位差有關(guān)時(shí)(同相)時(shí)(反相)[例7]已知兩諧振動(dòng)的曲線(如圖),它們是同頻率的諧振動(dòng),求它們的合振動(dòng)方程解：由圖知1振動(dòng)
6、在t=0時(shí)：2振動(dòng)在t=0時(shí)：由旋轉(zhuǎn)矢量法二.同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成拍設(shè)討論A1=A2=A的情況時(shí)合振幅隨時(shí)間周期性緩慢地變化而作角頻率近于或的諧振動(dòng)討論：振動(dòng)出現(xiàn)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍現(xiàn)象合振幅最大處即兩相鄰振幅極大之間的相位差為??:振幅變化周期拍頻A1追上A2一.相互垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成設(shè)§15-5相互垂直諧振動(dòng)的合成兩式平方后相加得----橢圓方程討論：?2-?1=0：同相---直線t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的距離為----振幅為的諧振動(dòng)?2-?1=?：反相----直線?2-?1=?/2：----正橢圓設(shè)某一時(shí)刻則?t后----質(zhì)點(diǎn)在橢圓上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2-?1=-?/2：----正橢圓質(zhì)
7、點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)A1=A2時(shí)橢圓變?yōu)閳A二.相互垂直的不同頻率諧振動(dòng)合成李薩如圖形
