CH3冪級(jí)數(shù)展開(kāi)ppt課件.ppt

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1、1第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)解析延拓第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第六節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)12第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如的表達(dá)式被稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。收斂與發(fā)散若的前n項(xiàng)和有極限(n→∞),則稱(chēng)該級(jí)數(shù)收斂，且稱(chēng)此極限值為該無(wú)窮級(jí)數(shù)的和；否則稱(chēng)為發(fā)散。23收斂的充分必要條件設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中un和vn皆為實(shí)數(shù)。絕對(duì)收斂與條件收斂稱(chēng)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，如果是收斂的稱(chēng)級(jí)數(shù)是條件收斂的，如果是發(fā)散，而是收斂的34舉例考察

2、級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性45復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達(dá)式被稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。點(diǎn)收斂：域收斂：收斂稱(chēng)之收斂，z∈B，稱(chēng)之5收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中柯西收斂判據(jù)對(duì)于，如果ε>0，存在N，當(dāng)n>N時(shí)，有其中p為任意正數(shù)67性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù)可積性級(jí)數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則解析性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂于f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且

3、78第二節(jié)冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑與收斂圓形如的級(jí)數(shù)被稱(chēng)為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)常數(shù)。若存在正數(shù)R，使得當(dāng)

4、z-z0

5、

6、z-z0

7、>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)R為級(jí)數(shù)的收斂半徑，其中

8、z-z0

9、

10、or級(jí)數(shù)展開(kāi)1415Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫(xiě)成z0zCRCR'RR'15?2：收斂半徑：R=LL：展開(kāi)中心到被展函數(shù)離z0最近的奇點(diǎn)的距離【例】●X展開(kāi)的三要素：展開(kāi)中心，收斂半徑，展開(kāi)系數(shù)?1：展開(kāi)中心：題目中給定。?3：展開(kāi)系數(shù)由不同的展開(kāi)方法求出。收斂半徑R＝1（0到1的距離）16?3：展開(kāi)方法泰勒展開(kāi)的唯一性定理：對(duì)于給定的一個(gè)圓內(nèi)解析的函數(shù)，它的泰勒展開(kāi)是唯一的。即若：則定有：有唯一性定理作保障，同一道題目可以使用不同

11、的展開(kāi)方法。(證明過(guò)程見(jiàn)課本P39)171、直接展開(kāi)法利用：【例1】在z0=0點(diǎn)鄰域，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)【例2】在z0=0點(diǎn)鄰域，將f(z)=sinz展為泰勒級(jí)數(shù)【例3】在z0=1點(diǎn)鄰域，將f(z)=lnz展為泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法18展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。例：在z0=0鄰域上將解：展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。例：在z0=0鄰域上將∵f(z)=sinz在全平面解析20級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，等號(hào)左右的奇偶性是一致的。同理可證：21例：在z0=1鄰域上把解：展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。2223例：在z0=0鄰域上將解：展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。

12、基本展式252、間接展開(kāi)法理論依據(jù)：泰勒展開(kāi)的唯一性出發(fā)點(diǎn)：基本展式方法一、變量變換【例1】在z0=0點(diǎn)，將f(z)=1/(2-z)展為泰勒級(jí)數(shù)【例2】在z0=1點(diǎn)，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)【例3】在z0=0點(diǎn)，將f(z)=ln(1+z)展為泰勒級(jí)數(shù)【例4】在z0=0點(diǎn)，將f(z)=1/(z-1)(z-2)展為泰勒級(jí)數(shù)26方法一、變量變換【例1】X0解：f(z)在z0=0點(diǎn)及其鄰域解析27令28【例2】在z0=1點(diǎn)鄰域，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)z-1＝Z解：f(z)在z0=1點(diǎn)及其鄰域解析2

13、9【例3】在z0=0點(diǎn)，將f(z)=ln(1+z)展為泰勒級(jí)數(shù)解：f(z)在z0=0點(diǎn)及其鄰域解析令1+z＝ZX030【例4】在z0=0點(diǎn)鄰域，將f(z)=1/(z-1)(z-2)展為泰勒級(jí)數(shù)其中：X0X31【例5】在z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析方法二、算術(shù)運(yùn)算法32微分法：適用于被展函數(shù)的原函數(shù)易展開(kāi)的情況。【例】0X∵f(z)的奇點(diǎn)是z=1f(z)在z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析方法三、分析運(yùn)算法3334積分法：適用于被展函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易展開(kāi)的情況?！纠俊遞(z)的奇點(diǎn)是z=1f(z)在z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析0

14、X353637解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)3738第四節(jié)解析延拓解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z),能否找到另一個(gè)函數(shù)F(z),它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上是解析函數(shù)，而且在區(qū)域b上等同于f(z)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，解析延拓就是解析函數(shù)定義域的擴(kuò)大！3839原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說(shuō)，選取區(qū)域b的任一內(nèi)點(diǎn)z0，在z0的領(lǐng)域上把解析函數(shù)f(z)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，如果這個(gè)