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《數(shù)列通項公式和數(shù)列求和--全面-最經(jīng)典.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、數(shù)列通項公式的求法一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通項公式為：（2）（3）（4）.點評：關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系例2：設(shè)數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項公式cn解：設(shè)例3.已知數(shù)列中，，，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：遞推公式一定可表示為的形式。由待定系
2、數(shù)法知：故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、ｃ為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項②若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解.(注意：求完后一定要考慮合并通項)例1：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{b
3、n}的通項公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例2.等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項公式是（）(A)(B)(C)(D)解析：設(shè)等差數(shù)列的公差位d，由已知，解得，又是遞減數(shù)列，∴，，∴，故選(D)。例3.已知等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。
4、解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴點評：當已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。例4:已知無窮數(shù)列的前項和為，并且，求的通項公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓練1.已知數(shù)列的前項和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.例5：已知數(shù)列前n項的和為s＝a－3，求這個數(shù)列的通項公式。分析：用a替換s-s(n2)得到數(shù)列項與項的遞推關(guān)系來求。解：a=a-3,a=6s＝a－3（nN）①s＝a－3(n2且nN)②①－②得
5、：a＝a－aa＝a，即＝3(n2且nN)數(shù)列是以a=6，公比q為3的等比數(shù)列.a＝aq＝63＝23。例6：已知正項數(shù)列中，s＝（a+），求數(shù)列的通項公式.分析：用s-s(n2)替換a得到數(shù)列與的遞推關(guān)系來求較易。解s＝（a+），a=(a+)a=1又a＝s－s(n2且nN)s＝（s－s＋）2s＝s－s＋s＋s＝s－s＝1(n2且nN)數(shù)列是以a=1為首項，公差為1的等差數(shù)列。s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，當n2時，s－s＝a＝－將n＝1代入上式得a＝－練習：數(shù)列前n項和為，已知＝5－3（）,求例7．①已知數(shù)列的前項和滿足．求數(shù)列的通項公式.②已知數(shù)列
6、的前項和滿足，求數(shù)列的通項公式.③已知等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。③解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴例8：數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。四、累加（乘）法對于形如型或形
7、如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。累加法：求形如=＋f(n)的遞推數(shù)列的通項公式的基本方法。把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，（其中f(n)能求前n項和即可）利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（可求前項和）.例1.已知數(shù)列中，,求這個數(shù)列的通項公式。分析：由已知，得，注意到數(shù)列的遞推公式的形式與等差數(shù)列的遞推公式類似，因而，可累加法求數(shù)列的通項。解：數(shù)列中，，可得：以上各式相加，將n＝1代入上式得例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以
8、數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式例3:
