幾何模型在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用

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1、幾何模型在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用　　摘要：本文通過(guò)幾何模型與線性代數(shù)之間的關(guān)系，重點(diǎn)討論幾何模型在線性代數(shù)中的應(yīng)用，并對(duì)線性代數(shù)課堂教學(xué)進(jìn)行了初步探討。Abstract：Throughanalyzingtherelationshipbetweengeometricmodelandlinearalgebra，thisarticlefocusesontheapplicationofgeometricmodelinlinearalgebra，anddiscussestheclassroomteachingoflinearalgebra.關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；幾何模型；課堂

2、教學(xué)Keywords：linearalgebra；geometricmodel；classroomteaching中圖分類(lèi)號(hào)：O151.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-4311（2013）29-0278-020引言7線性代數(shù)是理工科專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，工程實(shí)踐能力有著不可忽視的作用。按照大學(xué)的教學(xué)大綱安排，線性代數(shù)一般都在大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)設(shè)，大部分學(xué)生思維處于以求解題目為主，缺乏抽象的思維能力和邏輯推理能力。同時(shí)由于線性代數(shù)內(nèi)容抽象、形式化程

3、度高，而且教材中理論多、應(yīng)用少，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)普遍感到有一定的難度。按照FrankUhlig的觀點(diǎn)[1]，線性代數(shù)的一個(gè)成功的教學(xué)方法應(yīng)該是找到線性代數(shù)內(nèi)容的一個(gè)平衡，可以用圖1來(lái)描述。線性代數(shù)的課程內(nèi)容基本都涉及許多主題和概念，都是比較抽象的。作為大學(xué)一年級(jí)的新學(xué)生，我們?nèi)绾文芤龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)入這一領(lǐng)域，如何能成功確保整個(gè)教學(xué)過(guò)程，這對(duì)于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，這也是教師在實(shí)施線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中必須面對(duì)和解決的關(guān)鍵問(wèn)題。根據(jù)FrankUhlig的觀點(diǎn)，必須在具體教學(xué)中根據(jù)實(shí)際的內(nèi)容實(shí)施不同的教學(xué)方法。結(jié)合我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：線性代數(shù)基本概念的教學(xué)在

4、整個(gè)教學(xué)內(nèi)容中非常重要。如何讓學(xué)生從具體的概念中抽象邏輯推理是教學(xué)過(guò)程開(kāi)始最關(guān)鍵的一環(huán)。也就是說(shuō)如何在教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生建立線性代數(shù)的基本概念。中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家徐利治說(shuō)：“無(wú)論是從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究，我是喜歡直觀的。學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我能把定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了?！北疚耐ㄟ^(guò)重點(diǎn)討論幾何模型在線性代數(shù)中的應(yīng)用，并對(duì)線性代數(shù)課堂教學(xué)進(jìn)行了初步探討。1幾何模型回顧JoelHillel7使用三種模式來(lái)描述線性代數(shù)：抽象模型、代數(shù)模型以及幾何模型[2]。其中幾何模型是使用兩維和三維空間中的語(yǔ)言：點(diǎn)、線、面、矢量等等來(lái)給出一個(gè)

5、直觀的描述。幾何模型有助于對(duì)線性代數(shù)基本概念的認(rèn)識(shí)和感觀，這對(duì)于初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生來(lái)講是很有幫助的。學(xué)生可以使用幾何模型來(lái)理解平面轉(zhuǎn)換，進(jìn)而使得他們可能從已有的思維和概念中找到相應(yīng)的線性變換的基本對(duì)應(yīng)。這種方式在幫助學(xué)生理解線性代數(shù)的基本概念以及建立簡(jiǎn)單的模型上很有幫助，這也為培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力提供了必要的基礎(chǔ)。GuershonHarel試圖將線性代數(shù)課程中的具體性原理與幾何表示的向量空間建立關(guān)系。該方法有助于調(diào)動(dòng)和影響學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)基本概念時(shí)的積極性和主動(dòng)性，甚至使得學(xué)生有能力證明一般線性代數(shù)結(jié)果[3]。正如Harel指出的，幾何概念僅僅

6、是一個(gè)輔助作用，有些概念甚至要遲于線性代數(shù)。實(shí)際上理解幾何的概念的難度可能有會(huì)超過(guò)理解線性代數(shù)的基本概念。因此，一個(gè)自然的問(wèn)題是：如何使得幾何模型在線性代數(shù)中得以很好的應(yīng)用。著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說(shuō)：“沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際，因此用這種方式來(lái)表達(dá)事務(wù)是非常有意義的?！?幾何模型在具體教學(xué)中的應(yīng)用7在這里我們不涉及幾何學(xué)中的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)和幾何學(xué)的內(nèi)容，我們更加愿意使用幾何模型。主要原因是：大學(xué)課程的設(shè)置中，除了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生外，其余理工科的學(xué)生幾乎不開(kāi)設(shè)幾何學(xué)課程。因此，我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中僅僅是涉及到一些幾何模型，使用一些初等的幾何語(yǔ)言來(lái)直觀的解釋抽象的線

7、性代數(shù)課程中的一些基本的定義，為了使得學(xué)生能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中建立基本概念，為繼續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。以?xún)?nèi)積空間為例，闡述幾何模型在線性代數(shù)具體課程中的應(yīng)用。R2和R3是帶有點(diǎn)積的向量空間，它們可以看作是帶有點(diǎn)積和二次型的向量空間的幾何模型。一般情況下可以將這兩個(gè)空間上的一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)和結(jié)果推廣到任意的內(nèi)積空間上。例1.投影的定義。一個(gè)子空間上F的正交投影可以由R2或R3者表示。R2或R3中的任意的一個(gè)向量可以被唯一分解為：v=vF+vF⊥，其中vF∈F，vF⊥∈F⊥。到子空間F上的投影P定義為：Pv=vF。這個(gè)定義完全可以推廣到任意的內(nèi)積空間上。例2.矩陣與

8、線性變換。一個(gè)二階的旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為A=cosθ-