迭代法的收斂性（縮減）ppt課件.ppt

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1、第三節(jié)迭代法的收斂性迭代矩陣B滿足什么條件時(shí)，由迭代法產(chǎn)生的向量序列{x(k)}收斂到x*.引進(jìn)誤差向量可得誤差向量的遞推公式則研究迭代法收斂性問(wèn)題就是要研究迭代矩陣B滿足什么條件時(shí)，有.8.3.1迭代法的收斂性定義設(shè)有矩陣序列Ak=(aij(k))∈Rn×n及A=(aij)∈Rn×n，如果n2個(gè)數(shù)列極限存在且有則{Ak}稱收斂于A，記為lim(k→∞).例設(shè)有矩陣序列{Ak},其中Ak=Bk,而且設(shè)

2、λ

3、<1，考查矩陣序列極限.解顯然,當(dāng)

4、λ

5、<1時(shí),則有矩陣序列極限概念可以用矩陣算子范數(shù)來(lái)描述.定理1其中

6、

7、·

8、

9、為矩陣的任意一種算子范數(shù).定理2

10、定理3設(shè)B=(bij)∈Rn×n，則limBk=0(k→∞)(零矩陣)的充分必要條件是矩陣B的譜半徑?(B)<1.證明由矩陣B的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,存在非奇異矩陣P使其中若當(dāng)(Jordan)塊且　　　　，顯然有其中顯然有,Et,0=I,Et,k=0(當(dāng)k≥t)，(Et,1)k=Et,k.由于Ji=λI+Et,1，因此下面考查Jik的情況.引進(jìn)記號(hào)其中定理4(迭代法基本定理)設(shè)有方程組x=Bx+f.及一階定常迭代法x(k+1)=Bx(k)+f.對(duì)任意選擇初始向量x(0)，迭代法收斂的充要條件是矩陣B的譜半徑?(B)<1.證明充分性.設(shè)?(B)<1，則(I-B)

11、可逆，(I-B)x=f有唯一解，記為x*，則x*=Bx*+f.誤差向量由設(shè)?(B)<1，應(yīng)用定理3，有　　.于是對(duì)任意x(0)有，即.其中x(k+1)=Bx(k)+f.顯然，極限x*是方程組的解，且對(duì)任意x(0)有必要性.設(shè)對(duì)任何x(0)有由定理2知再由定理3，即得?(B)<1.定理4是一階定常迭代法的基本理論.定理3和定理4的結(jié)論和起來(lái)即為(1)迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收斂?limBk=O；(2)迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收斂??(B)<1.推論設(shè)Ax=b，其中A=D-L-U為非奇異矩陣且D非奇異矩陣，則有(1)Jacobi迭代法

12、收斂??(J)<1,其中J=D-1(L+U).(2)G-S迭代法收斂??(G)<1,其中G=(D-L)-1U.(3)SOR迭代法收斂??(Lω)<1,其中Lω=(D-ωL)-1[(1-ω)D+ωU].例：考察用Jacobi方法解系數(shù)矩陣為A的方程組的收斂性.解迭代矩陣J為得迭代矩陣J的特征方程為解得即?(J)<1.所以用Jacobi方法解方程組是收斂的.例考察用迭代法解方程組的收斂性.其中解方程組的迭代矩陣B的特征方程為矩陣B的特征值為　　　　即?(B)>1.這說(shuō)明用迭代法解此方程組不收斂.迭代法的基本定理在理論上是重要的，根據(jù)譜半徑的性質(zhì)?(B)≤

13、

14、

15、B

16、

17、，下面利用矩陣B的范數(shù)建立判別迭代法收斂的充分條件.定理5(迭代法收斂的充分條件)設(shè)有方程組x=Bx+f，B=(bij)∈Rn×n，及一階定常迭代法x(k+1)=Bx(k)+f.如果有B的某種算子范數(shù)

18、

19、B

20、

21、=q<1，則(1)迭代法收斂，即對(duì)任取x(0)有證明(1)由基本定理4結(jié)論(1)是顯然的.(2)顯然有關(guān)系式x*-x(k+1)=B(x*-x(k))及x(k+1)–x(k)=B(x(k)–x(k-1)).于是有(a)

22、

23、x(k+1)–x(k)

24、

25、≤q

26、

27、x(k)–x(k-1)

28、

29、;(b)

30、

31、x*-x(k+1)

32、

33、≤q

34、

35、x*-x(k)

36、

37、

38、.反復(fù)利用(b)即得(2).(3)考查

39、

40、x(k+1)–x(k)

41、

42、=

43、

44、x*–x(k)–(x*–x(k+1))

45、

46、≥

47、

48、x*–x(k)

49、

50、–

51、

52、x*–x(k+1)

53、

54、≥(1–q)

55、

56、x*–x(k)

57、

58、,即得(4)利用(3)的結(jié)果反復(fù)利用(a)，則得到(4).即注意，上述定理只給出迭代法收斂的充分性，即使條件

59、

60、B

61、

62、<1對(duì)任何常用范數(shù)均不成立，迭代序列仍可能收斂.例迭代法x(k+1)=Bx(k)+f，其中顯然

63、

64、B

65、

66、?=1.1,

67、

68、B

69、

70、1=1.2,

71、

72、B

73、

74、2=1.043,

75、

76、B

77、

78、F=(1.54)1/2,但由于?(B)=0.9<1，故由此

79、迭代法產(chǎn)生的迭代序列{x(k)}是收斂的.8.3.2關(guān)于解某些特殊方程組迭代法的收斂性在科學(xué)及工程計(jì)算中，要求解方程組Ax=b，其矩陣A常常具有某些特性.例如，A具有對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)或A為不可約陣，或A是對(duì)稱正定陣，下面討論用基本迭代法解這些方程組的收斂性.定義(對(duì)角占優(yōu)陣)設(shè)A=(aij)n×n.(1)如果A的元素滿足稱A為嚴(yán)格(按行)對(duì)角占優(yōu)陣.(2)如果A的元素滿足且上式至少有一個(gè)不等式成立，稱A為弱(按行)對(duì)角占優(yōu)陣.定義(可約與不可約矩陣)設(shè)A=(aij)n×n(n≥2)，如果存在置換陣P使其中A11為r階方陣，A22為n-r階方陣(1≤r≤n

80、)，則稱A為可約矩陣.否則，如果不存在這樣置換陣P使上式成立，則稱A為不可約矩陣.A為可約矩陣意即A可經(jīng)過(guò)若