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1、第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點集與多元函數(shù)§2二元函數(shù)的極限§3二元函數(shù)的連續(xù)性§1平面點集與多元函數(shù)多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì),同時又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì),讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意.下面著重討論二元函數(shù),由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去.一、平面點集二、R2上的完備性定理三、二元函數(shù)四、n元函數(shù)一、平面點集※平面點集的一些基本概念由于二元函數(shù)的定坐標(biāo)平面上滿足某種條件P的點的集合,稱為平對與平面上所有點之間建立起了一一對應(yīng).在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后,所有有序?qū)崝?shù)義域是坐標(biāo)平面上的點集,因此在
2、討論二元函數(shù)之前，有必要先了解平面點集的一些基本概念.面點集,記作例如：(2)(3)圖16–1(a)圓C(b)矩形S圖16–2(a)圓鄰域(b)方鄰域由于點A的任意圓鄰域可以包含在點A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然),因此通常用“點A的鄰用記號或來表示.點A的空心鄰域是指:或并用記號來表示.域”或“點A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并注意:不要把上面的空心方鄰域錯寫成:(請指出※點和點集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一:任意一點與任意一個點集之間必有E的內(nèi)點;由E的全體內(nèi)點所構(gòu)成的集合稱為E(i)內(nèi)點—若則稱點A是的內(nèi)部,記作intE.錯在何處?)(ii)外點—若則稱點A
3、是E的外點;由E的全體外點所構(gòu)成的集合稱(iii)界點—若恒有(其中),則稱點A是E的界點．由E的全體界點所構(gòu)成的集合稱為E的邊界,記作注E的內(nèi)點必定屬于E;E的外點必定不屬于E;E的界點可能屬于E,也可能不屬于E.并請注意:為E的外部.只有當(dāng)時,E的外部與才是兩個相同的集合.圖16–3例1設(shè)平面點集（見圖16–3）于D;滿足的一切點也是D的內(nèi)點;滿足的一切點是D的界點,它們都屬滿足的一切點都是D的界點,但它們都不屬于D.點A與點集E的上述關(guān)系是按“內(nèi)-外”來區(qū)分的.此外，還可按“疏-密”來區(qū)分，即在點A的近旁是否密集著E中無窮多個點而構(gòu)成另一類關(guān)系:(i)聚點
4、—若在點A的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的點，則稱點A是點集E的聚點．注1聚點本身可能屬于E，也可能不屬于E.注2聚點的上述定義等同于:“在點A的任何鄰域內(nèi)都含有E中的無窮多個點”.注3E的全體聚點所構(gòu)成的集合稱為E的導(dǎo)集,記作又稱為E的閉包,記作例如,對于例1中的點集D,它的導(dǎo)集與閉包同為其中滿足的那些聚點不屬于D,而其余所有聚點都屬于D.(ii)孤立點—若點,但不是E的聚點（即存在某δ>0,使得則稱點A是E的孤立點.注孤立點必為界點;內(nèi)點和不是孤立點的界點必為聚點;既非聚點,又非孤立點,則必為外點.例2設(shè)點集顯然,E中所有點(p,q)全為E的孤立點;并有※一些重
5、要的平面點集根據(jù)點集所屬的點所具有的特殊性質(zhì),可來定義一些重要的點集.開集—若點集E所屬的每一點都是E的內(nèi)點(即E=intE),則稱E為開集.閉集—若點集E的所有聚點都屬于E則稱E為閉集.若點集E沒有聚點這時也稱E為閉集.例如前面列舉的點集中,(2)式所示的C是開集;(3)式所示的S是閉集;(4)式所示的D既非開集,又非閉集;而(1)式所示的R2既是開集又是閉集.在平面點集中,只有R2與是既開又閉的.開域—若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,則稱E為開域.簡單地說,開域就是非空連通開集.閉域—開域連同其邊界所成的集合稱
6、為閉域.區(qū)域—開域、閉域、開域連同其一部分界點所成的集合,統(tǒng)稱為區(qū)域.不難證明:閉域必為閉集;而閉集不一定為閉域.在前述諸例中,(2)式的C是開域,(3)式的S是閉域,(1)式的R2既是開域又是閉域,(4)式的D是區(qū)域(但既不是開域又不是閉域).又如它是I、III兩象限之并集.雖然它是開集,但因不具有連通性,所以它既不是開域,也不是區(qū)域.有界點集—對于平面點集E,若使其中O是坐標(biāo)原點(也可以是其他固定點),則稱E是有界點集,否則就是無界點集(請具體寫出定義).前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)與(5)是無界集.E為有界點集的另一等價說法是:存在矩形區(qū)域
7、此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映,所謂點集E的直徑,就是其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)與P2(x2,y2)之間的距離,即于是,當(dāng)且僅當(dāng)d(E)為有限值時,E為有界點集.根據(jù)距離的定義,不難證明如下三角形不等式:※舉例討論上述點集的性質(zhì)例3證明:對任何恒為閉集.證如圖16–4所示,設(shè)的任一聚點，欲證（即亦為的界點）.為此由聚點定義，存在圖16–４再由為界點的定義,在的點.由此推知在內(nèi)既有的點,又有非的任意性,為的界點,即,這就證得為閉集．注類似地可以證明:對任何點集亦恒為閉集.(留作習(xí)題)例4設(shè)試證E為閉集的充要條件是：內(nèi)既有的點,又有非的點.
8、所以,由③①②圖16–5
