矩陣的秩只是分享.ppt

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1、矩陣的秩2021/8/42是A的一個(gè)三階子式，它A由的第2，4，6行與第1，5，7列交叉處的元素所構(gòu)成.2021/8/44例求矩陣的秩解在A中，容易看出一個(gè)2階子式經(jīng)計(jì)算可知因此R（A）=2A的三階子式只有一個(gè)例解例解計(jì)算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！2021/8/48階梯形矩陣R(A)=3問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？證矩陣的秩的求法經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．證畢初等變換求矩陣的秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.

2、例解由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知?jiǎng)t這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.例解分析：2021/8/424定理n階矩陣A的秩等于n的充要條件是A為非奇異矩陣(即

3、A

4、?0).證若R(A)=n,則對(duì)A作初等行變換可將其化為有n個(gè)非零行的行簡(jiǎn)化階梯矩陣(即單位陣I),也就是,存在可逆陣P使PA=I,故

5、A

6、?0,R(A)=n.m?n矩陣A,A為n階方陣如果

7、A

8、?0,則R(A)=n，稱A為滿秩矩陣如果R(A)=n，稱A為列滿秩矩陣如果R(A)=m，稱A為行滿秩矩陣定義如果

9、A

10、=0,則R(A)

11、性質(zhì)（4）R(A+B)?R(A)+R(B)（5）max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)+R(B)（6）若A與B等價(jià)，則R(A)=R(B)2021/8/427（7）設(shè)A是m?n矩陣,P,Q分別是m階,n階可逆矩陣,則R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).證由于可逆陣P,Q可以表示為若干個(gè)初等陣的乘積,而初等變換不改變矩陣的秩,故結(jié)論成立.例設(shè)A是m?n矩陣,m

12、ATA

13、=0.證由于R(A)=R(AT)?min(m,n)

14、階矩陣,利用定理3,即得

15、ATA

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