第十一節(jié)-用能量法計(jì)算自振頻率.ppt

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1、§11-10能量法計(jì)算自振頻率一.能量法計(jì)算自振頻率的依據(jù)對(duì)體系的自由振動(dòng)形式作出簡(jiǎn)化假設(shè)，根據(jù)能量守恒定律求得體系自振頻率的近似值。能量守恒定律:如果不考慮阻尼的影響，則體系的能量既無(wú)輸入也無(wú)耗散。根據(jù)能量守恒定律，體系在任一時(shí)刻t的動(dòng)能V(t)與應(yīng)變能U(t)之和應(yīng)當(dāng)保持不變，即V(t)+U(t)=常數(shù)二.能量法計(jì)算自振頻率的公式若體系以某一頻率作自由振動(dòng)，當(dāng)體系在通過(guò)靜平衡位置時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)速度最大，因此動(dòng)能V(t)達(dá)到其最大值Vmax，而應(yīng)變能U(t)=0；當(dāng)體系達(dá)到振幅位置時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)速度為零，因此動(dòng)能V(t)=0，而應(yīng)變

2、能U(t)達(dá)到其最大值Umax。對(duì)這兩個(gè)特定時(shí)刻，按照式(a)可得(a)Vmax+0=0+Umax或Vmax=Umax(b)利用式(b)可以得到確定體系自振頻率的方程。設(shè)圖11-54所示簡(jiǎn)支梁具有分布質(zhì)量和若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)mi。體系按某一自振頻率作自由振動(dòng)，以Y(x)表示梁上任意一點(diǎn)x處的振幅(即振型函數(shù))，則位移可表示為y(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)速度為(x,t)=Y(x)cos(ωt+φ)體系的動(dòng)能為式中Yi為質(zhì)點(diǎn)mi的振幅。動(dòng)能的最大值為體系的彎曲應(yīng)變能為應(yīng)變能的最大值為由=得(11-97)利用式(11-97)計(jì)算

3、自振頻率時(shí)，必須知道振幅曲線Y(x)，但Y(x)事先通常未知，故只能假設(shè)一個(gè)Y(x)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。若所假設(shè)的Y(x)恰好與第一振型吻合，則可求得第一頻率的精確值；若恰好與第二振型吻合，則可求得第二頻率的精確值；…。但假設(shè)的曲線往往是近似的，故求得的頻率亦為近似值。由于假設(shè)高頻率的振型較困難，常使誤差很大，故這種方法適宜于計(jì)算第一頻率。在假設(shè)振幅曲線Y(x)時(shí)，至少應(yīng)使它滿足位移邊界條件，并盡可能滿足力的邊界條件。通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某種靜荷載(x)作用下的撓曲線作為Y(x)，此時(shí)應(yīng)變能可以更簡(jiǎn)便地用外力實(shí)功來(lái)代替，即而式(11-97)

4、可改寫為(11-98)如果取結(jié)構(gòu)自重作用下的變形曲線作為Y(x)，則式(11-97)可改寫為(11-99)如果是求水平方向振動(dòng)的頻率，則重力應(yīng)沿水平方向作用。例11-17試用能量法求圖11-53a所示等截面簡(jiǎn)支梁的第一頻率。解：(1)假設(shè)振幅曲線Y(x)為拋物線所選擇的振幅曲線滿足位移邊界條件：Y(0)=0，Y(l)=0；但不滿足簡(jiǎn)支梁端彎矩等于零的邊界條件：，。將上式代入式(11-97)，得(2)取均布荷載q作用下的撓曲線作為Y(x)，即它既滿足位移邊界條件，也滿足力的邊界條件。代入式(11-98)，得(3)設(shè)振幅曲線Y(x

5、)為正弦曲線，即代入式(11-97)，得(4)討論正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由它求得的是第一頻率的精確值。用近似的振幅曲線Y(x)求得的頻率值均比精確值大，這是因?yàn)橛媒频恼穹€去代替真實(shí)的振幅曲線時(shí)，相當(dāng)于在體系上增加了約束，使體系的剛度增大，導(dǎo)致求得的頻率高于精確值。取均布荷載q作用下的撓曲線作為Y(x)求得的具有很高的精度，本例的誤差僅為0.075%。例11-18用能量法求例11-12剛架的第一頻率。已知：該剛架如圖11-55a所示，集中在各層橫梁上的質(zhì)量分別為m1=m2=270×103kg、m3=180×10

6、3kg，各層的相對(duì)側(cè)移剛度分別為k1=245×106N/m、k2=196×106N/m、k3=98×106N/m。解：將各層重量mig作為水平力作用于各橫梁上(圖11-55b)，以此水平力作用下各橫梁產(chǎn)生的水平位移作為mi的振幅Yi，分別求得如下：=0.0693(m)代入式(11-99)得=185.769=13.63s—1比精確值13.47(見(jiàn)例11-12)只大1.2%。本章小結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的主要不同之處是動(dòng)力計(jì)算要考慮慣性力(有時(shí)也包括阻尼力)和時(shí)間因素。動(dòng)力計(jì)算包括自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)兩部分內(nèi)容。(1)動(dòng)力計(jì)算的基

7、本未知量是質(zhì)點(diǎn)的位移。確定體系在振動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻所有質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目，稱為體系的動(dòng)力自由度，也就是動(dòng)力計(jì)算基本未知量的個(gè)數(shù)。(2)進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算要建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。建立運(yùn)動(dòng)方程的基本方法是動(dòng)靜法，它是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，在運(yùn)動(dòng)體系的質(zhì)點(diǎn)上加入假想的慣性力。用動(dòng)靜法列運(yùn)動(dòng)方程兩種方式：若體系的柔度系數(shù)比較容易求得，就列位移方程(柔度法)；若體系的剛度系數(shù)比較容易求得，就列動(dòng)力平衡方程(剛度法)。(3)熟練掌握單自由度體系自振頻率和周期的計(jì)算方法。自振頻率為自振周期為體系的自振頻率和周期只與體系的剛度和質(zhì)量有關(guān)，而

8、與引起自由振動(dòng)的初始條件(初位移或初速度)、荷載情況無(wú)關(guān)，是體系的固有特性。(4)阻尼對(duì)一般土木工程結(jié)構(gòu)的自振頻率和周期的影響很小，通常忽略不計(jì)。(5)對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載作用于質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系，熟練掌握用動(dòng)力系數(shù)法計(jì)算動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力(以動(dòng)彎矩為例)的最大值：在共振區(qū)外可不考慮阻尼