等價無窮小量替換定理.docx

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1、頁眉§2–6無窮小與無窮大的比較基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)1、無窮小的比較定義1設(shè)α、β是某一極限過程中的兩個無窮小，若limc（c為常數(shù)）則（1）當(dāng)c≠0時，稱在此極限過程中β與α是同階無窮??；（2）當(dāng)c=0時，稱在此極限過程中β是α的高階無窮小，記作β=o(α)(讀作小歐α)；（3）當(dāng)c=1時，稱在此極限過程中β與α是等價無窮小，記作β～α。2、無窮大的比較定義2設(shè)Y、Z是同一極限過程中的兩個無窮大量，（1）如果Z=c0Ylim與Z是同階無窮大量；Y≠，則稱（2）如果limZ=∞時，則稱Z是Y的高階無窮大

2、量；Y（3）如果limZ=c≠（0k＞0），則稱Z是關(guān)于（基本無窮大量）Y的k階無窮大量。Yk3、無窮小的階與主部定義3把某極限過程中的無窮小α作為基本無窮小，如果β與k（k＞0）是同階的無窮小，即limk=c≠，0則稱β是關(guān)于α的k階無窮小。重點難點突破1．關(guān)于無窮小的比較要確定兩個無窮小量是同階、高階和等價的關(guān)系，其實就是求這兩個無窮小量比的極限，再根據(jù)定義判斷兩個無窮小的關(guān)系。注意（1）符號β=O(α)與β～α的含義β=O(α)表示β是α的高階無窮小，即lim0；β～α表示β與α是等價無窮

3、小，即lim1（1）同階不一定等價，等價一定同階。（2）利用等價無窮小求極限等價無窮小在求極限的過程中可以進行如下替換：若α～αˊ，β～βˊ，且lim存在，則lim=lim無窮小量的比較表設(shè)在自變量xx0的變化過程中，(x)與(x)均是無窮小量無窮小的比較定義記號1/3頁眉(x)是比(x)高階的無窮小lim(x)0(x)(x)(x)xx0（xx0）(x)與(x)是同階的無窮小lim(x)C(C為不等于零的常數(shù))(x)xx0a(x)與(x)是等階無窮小lim(x)1(x)~(x)xx

4、0a(x)（xx0）2．關(guān)于無窮小的階當(dāng)x→0時，由恒等式（?。﹐(xn)+o(xm)=o(xn)0＜n＜m（ⅱ）o(xn)o(xm)=o(xm+n)m＞0,n＞03．關(guān)于無窮小的替換定理設(shè)當(dāng)xx0時，1(x)~2(x)，1(x)~2(x)，lim2(x)存在，則lim1(x)2(x)．xx02(x)xx01(x)2(x)解題方法指導(dǎo)1．判斷無窮小的階有以下幾種方法（僅供參考）：例1當(dāng)x→0時，下列無窮小量是x的幾階無窮?、賦-3x3+x5②sinxtgx解：①因為當(dāng)x→0時，在x-3x3+x5

5、中3x3與x5都是x的高階無窮小，由恒等式（?。﹍imx3x3x51x0x所以，當(dāng)x→0時，x-3x3+x5是x的一階無窮小②因為當(dāng)x→0時，sinx～x，tgx～x，由恒等式（ⅱ）可得sinxtgx1sinxtgx=o(x2)，即limx2x0所以，當(dāng)x→0時，sinxtgx是x的二階無窮?。?）先將原式變形，再判斷階數(shù)例2當(dāng)x→0時，下列無窮小量是x的幾階無窮?、?x1x②tgx–sinx解：①通過分子有理化將原式變形1x1x=2x1x1x由此看出，當(dāng)x→0時，1x1x是x的一階無窮小，事實

6、上lim2x1x1x)x0x(1②通過三角函數(shù)的公式將原式變形2/3頁眉sinxsinx(1cosx)tgxsinxsinxcosxcosx因為sinx～x，1-cosx～1x22由此看出，當(dāng)x→0時，tgx–sinx是x的三階無窮小，事實上sinx(1cosx)x?1x21lim2lim3?cosx3?cosx2x0xx0x此題錯誤解法：解：因為limtgxsinxlimtgxsinx0x0xx0xx所以，當(dāng)x→0時，tgx–sinx是x的一階無窮小這種解法是錯誤的，因為由無窮小階的定義，β與

7、k比的極限不能為零。2．利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有：當(dāng)x0時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1,1cosx~1x2,2x~sin2x~tan2x．2例5求下列函數(shù)的極限1cosx，（2）limtanxsinx（1）lim3x2x3．x0x0（1）lim11x210,1cosx~1x2）．解cosx=lim2（xx03x2x03x262（2）limtanxsinx=limsinx(1cosx)sin3xx3cosxx0x0limsinx(1

8、cosx)1xx2cosxx02sin2x=limx22x0=1（x0,sin2x~x2222）．小結(jié)利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯．如上題limtanxsinxlimxx0,即得一錯誤結(jié)果．x0sin3xx0x33/3