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1、基本概念函數(shù)概念小結(jié)作業(yè)思考題第一節(jié)映射與函數(shù)第一章函數(shù)與極限函數(shù)的特性反函數(shù)1一、集合(1)定義組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.(3)符號(hào)(4)表示列舉法描述法(5)常用集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.1.集合概念(2)有限集和無限集映射與函數(shù)2不含任何元素的集合稱為空集,規(guī)定空集為任何集合的子集.(6)關(guān)系子集(包含),相等,2.集合的運(yùn)算并,交,(1)基本運(yùn)算BAIBAIA∩B={x
2、x?A且x?B}A∪B={x
3、x?A或x?B}映射與函數(shù)3補(bǔ),直積或笛卡兒乘積:差,ABIAB={x
4、x?A且x?B}ABI
5、AB映射與函數(shù)4(2)運(yùn)算法則交換律:結(jié)合律:分配律:對(duì)偶律:映射與函數(shù)53.區(qū)間和鄰域開區(qū)間(a,b):(1)有限區(qū)間閉區(qū)間[a,b]:半開區(qū)間[a,b):半開區(qū)間(a,b]:映射與函數(shù)6(2)無限區(qū)間映射與函數(shù)7(3)鄰域點(diǎn)a的鄰域U(a):以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間.點(diǎn)a的δ鄰域U(a,δ):U(a,δ)的實(shí)質(zhì):U(a,δ)=(a–δ,a+δ).點(diǎn)a的左δ鄰域:(a–δ,a).點(diǎn)a的右δ鄰域:(a,a+δ).問題：如何用鄰域表示(1,2)呢？映射與函數(shù)8二、映射引例(1)一個(gè)班里有6名男同學(xué),記為X={1,2,…,6}，入學(xué)時(shí)
6、分配宿舍，共有4個(gè)房間可供分配，記為Y={301,302,303,304}．我們確定分配方案如下：{1}?301，{2,3}?302，{4,5}?303，{6}?304．引例(2)設(shè)X=Y={1,2,3,4}，規(guī)定對(duì)應(yīng)法則：1?2，2?3，3?4，4?1．共同之處:在兩個(gè)集合X和Y之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)X中的每一個(gè)元素,有Y中一個(gè)唯一確定的元素與它對(duì)應(yīng)。映射與函數(shù)91.映射概念(1)定義(2)要素設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中每個(gè)元素x，按照法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映
7、射，記作f:X→Y如，X={三角形}，Y={圓}，f：X→Y,對(duì)每個(gè)x?X,有唯一確定的y(x的外接圓)?Y與之對(duì)應(yīng).映射與函數(shù)10注記映射與函數(shù)11(3)滿射、單射和雙射(一一映射)滿射：單射：雙射（一一映射）：既是單射，又是滿射.Rf=Y,即Y中任一元素都是X中某元素的像；映射與函數(shù)12補(bǔ)例1設(shè)X是一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合，Y={y?y?R,0?y<1}，f是從X到Y(jié)的一個(gè)映射，證明：f是從X到Y(jié)的一一映射。f(x)=．證明:①設(shè)y?Y，取x=，因?yàn)??y<1，所以x?0，即x?X．我們有f(x)===y．所以f是滿射。映射與函
8、數(shù)13②設(shè)x1,x2?X，所以f是單射。綜合(1)，(2)所述，f是一一映射。(4)幾種常用的映射(算子)泛函f：X→Y(數(shù)集);變換f：X→X;函數(shù)f：X(實(shí)數(shù)集或其子集)→Y(實(shí)數(shù)集).映射與函數(shù)x1≠x2時(shí)，f(x1)≠f(x2)142.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射問題：請(qǐng)分析補(bǔ)例1是否存在逆映射？設(shè)f是X到Y(jié)的單射,則我們可以定義一個(gè)從Rf到X的新映射g，即g：Rf?X，對(duì)每個(gè)y?Rf，規(guī)定g(y)=x，這x滿足f(x)=y．這個(gè)映射g稱為f的逆映射，記作f-1．其定義域Rf，其值域X．映射與函數(shù)15(2)復(fù)合映射注記:兩
9、個(gè)映射的復(fù)合是有順序的;映射與函數(shù)16３.舉例例４映射與函數(shù)17三、函數(shù)1.函數(shù)概念(1)定義設(shè)D是實(shí)數(shù)集，則稱映射f:D→R為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為：其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，一般記作(2)要素定義域D及對(duì)應(yīng)法則f．映射與函數(shù)18注記:區(qū)別符號(hào)f與f(x)的不同含義；函數(shù)是特殊的映射.掌握函數(shù)定義域D的確定原則:(3)函數(shù)定義域D的確定(ⅰ)對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)問題的實(shí)際意義確定;(ⅱ)對(duì)抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，根據(jù)其所允許之取值而定（此為自然定義域）.映射與函數(shù)19(4)單值函數(shù)與多值函數(shù)若對(duì)?x
10、?D?唯一y?Rf，則y=?(x)單值；若?x?D?多個(gè)y?Rf，則y=?(x)多值。如，x2+y2=r2(r>0)確定y是x的二值函數(shù)。對(duì)于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支。映射與函數(shù)20例５函數(shù)y=2yxo1y=2映射與函數(shù)21例6絕對(duì)值函數(shù)yxo1-11y=
11、x
12、映射與函數(shù)22例７符號(hào)函數(shù)yxo1－1映射與函數(shù)23例8函數(shù)xyo21y=f(x)分段函數(shù)映射與函數(shù)24補(bǔ)例2設(shè)A、B兩地之間的長途電話費(fèi)在最初的3分鐘是6.60(元),以后的每分鐘(不足一分鐘按一分鐘
13、計(jì))另加1.20(元).顯然長途電話費(fèi)C(單位:元)是通話時(shí)間t(單位:分鐘)的函數(shù).試寫出函數(shù)的公式表示,并描繪它的圖形。解：記長途電話費(fèi)為C(t)．由于t>0，于是函數(shù)的定義域?yàn)?0,+?)．從給出的信息，我們有映射與函數(shù)25取整函數(shù)y=[x]
