高等數(shù)學(xué)-極限.ppt

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1、若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>N時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,1.3函數(shù)的極限1.3.1數(shù)列的極限鄰域OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些點在條形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示N數(shù)列極限的演示e越來越小，N越來越大！例如,趨勢不定收斂發(fā)散數(shù)列極限的演示數(shù)列極限的演示●●數(shù)列極限的演示數(shù)列極限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●目標(biāo)不惟一?。。。。。。。。。。。∫?、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:二、自變

2、量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:1.3.2函數(shù)的極限●●●●●這個運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按逆時針方向趨于頂點這個運(yùn)動表明：當(dāng)x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應(yīng)的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于，還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點——頂點！x趨于無窮大的演示●●●x●●●因此，我們得到無窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限的關(guān)系如右：x趨于無窮大的演示2.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1.時函數(shù)極限的定義引例.測量正方形面積.面積為A)邊長為

3、(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度?,要求確定直接觀測值精度?:定義1.設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的極限,或即當(dāng)時,有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:函數(shù)極限的演示dd目的：對任意的e>0,要找d>0，使得00,要找d>0，使得0

4、A-e

5、之和不一定是無窮小!例如，有限個無窮小之差仍為無窮小.定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積是無窮小.例.求解:利用定理2可知說明:y=0是的漸近線.第一章都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.無窮小的比較定義.若則稱?是比?高階的無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱?是比?低階的無窮小;則稱?是?的同階無窮小;則稱?是關(guān)于?的k階無窮小;則稱?是?的等價無窮小,記作例如,當(dāng)～時～～又如，故時是關(guān)于x的二階無窮

6、小,～且例1.證明:當(dāng)時,～證:～內(nèi)容小結(jié)1.無窮小的比較設(shè)?,?對同一自變量的變化過程為無窮小,且?是?的高階無窮小?是?的低階無窮小?是?的同階無窮小?是?的等價無窮小?是?的k階無窮小1.4極限運(yùn)算法則1.4.1函數(shù)的極限運(yùn)算法則則有定理1.（1）若（2）若則有說明:可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))（3）若且B≠0,則有1.4.1函數(shù)的極限運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理1.（1）若

7、說明:可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.（2）若則有說明:可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))為無窮小(詳見P44)（3）若且B≠0,則有證:因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,例1這是因為分子、分母都包含著在x=2時為零的因子x－2。此時為求極限應(yīng)設(shè)法先消去零因子，然后求極限。解原式=例2求注此題中若將x=2代入分子、分母，則得到無意義的式子，例3解當(dāng)時，，的分母都趨于零，原式出現(xiàn)“”的形式，兩項均不存在極限，故不能直接使用極限運(yùn)算法則，此時需先通分

8、，變換一下形式。原式=（消去零因子）解原式=解當(dāng)時，分母極限為0，不能直接使用極限運(yùn)算法則，若將分子有理化例4求例5.求解:x=1時分母=0,分子≠0,但因例6.求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))例7.求解原式=定理.設(shè)且x滿足時,又則有說明:若定理中則類似可得例7.求解:令已知∴原式=思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限