自動(dòng)控制原理-王建輝(4)素材學(xué)習(xí)資料.ppt

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1、自動(dòng)控制原理-王建輝(4)素材東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組2第4章根軌跡法學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念了解根軌跡的類型劃分，熟練掌握根軌跡的分類原則掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應(yīng)用到根軌跡的繪制過(guò)程中學(xué)會(huì)應(yīng)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念近似分析系統(tǒng)的性能了解根軌跡形狀與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組3第4章根軌跡法根軌跡法一種由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡(jiǎn)便方法。它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。根軌跡法的任務(wù)由已知的開(kāi)環(huán)零極

2、點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組44.1根軌跡法的基本概念根軌跡系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)從零變化到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上的變化軌跡。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組5例4.1二階系統(tǒng)的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程閉環(huán)極點(diǎn)4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組6研究開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當(dāng)取不同K值時(shí)，算得閉環(huán)特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組7

3、4.1根軌跡法的基本概念K由0→∞變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡直觀地表示了參數(shù)K變化時(shí)，閉環(huán)特征根的變化，并且還給出了參數(shù)K對(duì)閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組8根軌跡方程控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組9式中：——開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；——開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為或可寫作4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組10這個(gè)方程式表達(dá)了開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式

4、又稱為根軌跡方程。上式是一個(gè)復(fù)數(shù)，可表示成幅值和輻角的形式，則根軌跡方程又可分別表示成：4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組11幅值條件：4.1根軌跡法的基本概念東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組12輻角條件：（充分必要條件）4.1根軌跡法的基本概念式中：—開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；—開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；滿足幅值條件和輻角條件的s值，就是特征方程式的根，也就是閉環(huán)極點(diǎn)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組134.1根軌跡法的基本概念因?yàn)樵?→∞范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一個(gè)值能滿足幅值條件。所以，繪制根軌跡的依據(jù)是輻角條

5、件。利用幅值條件計(jì)算值比較方便，它可以作為計(jì)算值的依據(jù)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組144.2根軌跡的繪制法則繪制根軌跡的一般步驟（1）求出和時(shí)的特征根；（2）根據(jù)繪制法則大致畫出時(shí)的根軌跡草圖；（3）利用輻角條件，對(duì)根軌跡的某些重要部分精確繪制。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組154.2根軌跡的繪制法則4.2.1繪制根軌跡的一般法則1．起點(diǎn)（）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為上式即為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。所以，當(dāng)=0時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組164.2根軌跡的繪制法則2.終點(diǎn)（）當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方

6、程式等效為上式表明，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)。今設(shè)為m階方程，故有m個(gè)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)決定了閉環(huán)極點(diǎn)的位置，尚有n-m個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，隨著，它們都趨向無(wú)限遠(yuǎn)（無(wú)限零點(diǎn)）。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組174.2根軌跡的繪制法則3.根軌跡分支數(shù)和它的對(duì)稱性根軌跡分支數(shù)取決于閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式中s的最高次項(xiàng)，即為max(n,m)條。閉環(huán)系統(tǒng)的特征根只有實(shí)數(shù)根和共軛復(fù)根，故根軌跡都對(duì)稱于實(shí)軸。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組184.2根軌跡的繪制法則4．實(shí)軸上的根軌跡根軌跡左側(cè)的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角總為零；復(fù)平面上的所有零、極點(diǎn)

7、是共軛的，它們到實(shí)軸上根軌跡的矢量輻角之和也總為零。根軌跡右側(cè)的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到根軌跡的矢量輻角均為180°。結(jié)論：在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組194.2根軌跡的繪制法則證明：設(shè)為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)目，為實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，由輻角條件整理得所以，實(shí)軸上存在根軌跡的條件應(yīng)滿足東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組204.2根軌跡的繪制法則例如下圖所示，對(duì)于根軌跡；對(duì)根軌跡；對(duì)根軌跡。它們都是奇數(shù)。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組214.2根軌跡的繪制法則

8、5．分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。在下圖上畫出了兩條根軌跡。我們把a(bǔ)點(diǎn)叫做分離點(diǎn)，b點(diǎn)叫做會(huì)合點(diǎn)。它們表示當(dāng)，特征方程式會(huì)出現(xiàn)重根。東北大學(xué)《自動(dòng)控制原理》課程組224.2