數(shù)列求和的常見方法.doc

《數(shù)列求和的常見方法.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、數(shù)列求和的常見方法數(shù)列問(wèn)題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是高考用來(lái)考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解程度的良好素材，是歷年高考的一大熱點(diǎn)，在高考命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)，一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，因此，我們有必要對(duì)數(shù)列求和的各種方法進(jìn)行系統(tǒng)探討。一、公式求和法通過(guò)分析判斷并證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列后，可直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和，或者利用前個(gè)正整數(shù)和的計(jì)算公式等直接求和。因此有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前項(xiàng)和公式.正整數(shù)和公式有：例1設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用

2、常用公式）∴＝＝＝∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，【能力提升】公式法主要適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列的求和，一些綜合性的數(shù)列求和的解答題最后往往就歸結(jié)為一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題.二、分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.形如：①,其中②例2已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和.分析：該數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列組成的，所以可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行分組求和.【解析】===【能力提升】在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)

3、的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就可以用此方法求和.三、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求和.例3.(2010年全國(guó)高考寧夏卷17）設(shè)數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，。而所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為。（Ⅱ）由知①?gòu)亩冖?②得。即點(diǎn)評(píng)：本題主要考察由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和。熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵?！灸芰μ嵘垮e(cuò)位相減法適用于數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.若等比數(shù)列中公比未知，則需要對(duì)公比

4、分兩種情況進(jìn)行分類討論.四、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法.例4求證：證明：設(shè)…………………………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴【能力提升】倒序相加法來(lái)源于課本，是等差數(shù)列前項(xiàng)和公司推導(dǎo)時(shí)所運(yùn)用的方法，它是一種重要的求和方法。當(dāng)求一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)和時(shí)，若是“與首末兩端等距離”的兩項(xiàng)和都相等，即可用此法.五、裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，以

5、及部分無(wú)理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：例5（2010山東理數(shù)18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=?！灸芰μ嵘坑昧秧?xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的差的形式因此需要掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧.六、并項(xiàng)求和法針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將其某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和.例6數(shù)列的前項(xiàng)和是，若數(shù)

6、列的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：若存在自然數(shù)，使，則.分析：數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律是分母為2的一項(xiàng)，分母為3的兩項(xiàng)，分母為4的三項(xiàng)，···，故這個(gè)數(shù)列的和可以并項(xiàng)求解.【解析】而這樣,而故，故填【能力提升】當(dāng)一個(gè)數(shù)列連續(xù)的幾項(xiàng)之間具有明顯的規(guī)律性，特別是一些正負(fù)相間或者是周期性的數(shù)列等，可以考慮用并項(xiàng)求和的方法.一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和。高考數(shù)學(xué)試題中所涉及的數(shù)列求和問(wèn)題往往具有一定的技巧性，需要考生具有很強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力才能解決，但是基本的求和方法就是上面介紹的這些。希

7、望廣大考生熟練掌握，靈活適用.