在祖沖之以前.docx

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1、在祖沖之以前下面一大一小兩個圓，光憑肉眼看，你能說出哪一個的周長/直徑之比更大嗎？許多年前，小學(xué)數(shù)學(xué)老師說所有的圓周長和直徑的比值是一樣的。我信了，可是很長時間都不明白為什么。而且，即使明白了，又該如何去計算這個值是多少呢？在我想出一個方法之前，很不幸地被歷史老師提前告知了正確答案：咱老祖宗早就研究過這個了。怎么樣，這個老頭很眼熟吧，教室的墻上經(jīng)?？梢砸姷剿?。這是世界上第一個把圓周率精確到小數(shù)點后第6位的祖沖之，這紀(jì)錄保持了上千年，才被歐洲人打破。哇，那他是怎么算的呢？——歷史老師好像對這個不太感興趣。后來才

2、知道，祖沖之的算法仍然是個未決的懸案。古書的記載只有《隋書·律歷志》中一段文字：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”也就是說，人們只知道祖沖之給出了圓周率介于3.1415926和3.1415927之間這個答案，以及兩個π的近似數(shù)355/113和22/7。其他就沒有線索了。咦，這個祖先生是南北朝年間的人物，在他之前的人類文明第1頁

3、史已有三千多年，在他之后又有一千幾百年了。可為什么一提到圓周率人們想起的就是他呢？只是憑著這么簡略的一小段，既沒說“為什么”又沒說“怎么算”的記載？合書四顧心茫然，看來得動手動腳找東西。從哪里入手呢？嗯，一個人用什么辦法解決問題可以從他的知識背景看出些端倪。他讀過哪些書，在朝廷里當(dāng)什么官，或者做過什么工作，都能給我們一些提示。祖沖之家學(xué)淵源深厚，祖父是南朝主管皇家土木營建的大匠卿，而沖之本人精通歷法和音律。這些技術(shù)全都需要算學(xué)的功底，可現(xiàn)在已經(jīng)很難考證當(dāng)時的學(xué)界推崇哪些算學(xué)書籍。不過，晚些時候的唐代國子監(jiān)里把

4、一套《算經(jīng)十書》作為標(biāo)準(zhǔn)教材，包括《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、和《緝古算經(jīng)》，用于教習(xí)和考試。其中《綴術(shù)》是祖沖之所撰，前面六部的成書要早于他的時代。既然被后來的朝廷選為官方教材，說明這些著作的權(quán)威性是比較大的，祖沖之很可能熟習(xí)了前幾部古書中的計算技巧。那么其中有沒有人提到過計算圓周率呢？有。而且看這個人留下的文字，閃爍的智慧絲毫不遜于后人。很可能就是這些思想，把祖沖之引向了輝煌的6位小數(shù)。這個人叫劉徽，生于三國

5、時期，為《九章算術(shù)》作了很詳細的注解?！毒耪滤阈g(shù)》在現(xiàn)代的名聲遠遠蓋過算經(jīng)十書里其第2頁他幾部，大部分功勞得歸于劉先生。其余枝節(jié)且按下不表，單看他如何拆解圓周的玄機。在劉徽之前的古代文字記載中，圓周率是“徑一而周三”，也就是整3倍。從中國人的文化傳統(tǒng)看，這個值很可能是匠人們（尤其是木匠）在勞動中的經(jīng)驗總結(jié)。想象一下，許許多多的匠人砍下大樹為房屋搭柱子，他們要比較長度、面積、體積這些最基本的幾何關(guān)系。在無數(shù)次測量中，柱子橫截面的周長和直徑之比總是在3左右，有時多點有時少些。搭房子不需要計較差的那一點零頭，于是業(yè)

6、界就把這值取為三，用起來也十分順當(dāng)?！毒耪滤阈g(shù)》里有許多關(guān)于圓的問題，原作者給出的答案都是基于這個比值3算的。好，我們在這里停一停。咳咳，你是一個生活在21世紀(jì)的新好青年，你知道圓周率至少是3.14。如果有一天尋秦記不幸在你身上上演，被派到趙國去說服他們的木匠，說柱子周長比直徑的三倍還要略大，該怎么完成任務(wù)呢？備上一條量衣皮尺去量給他們看么？你有比這更好的建議嗎？劉徽敏銳地察覺到了這個“3”的謬誤，批注在《九章》相應(yīng)的題目下（方田術(shù)·三十二）。他的理由聰明又簡潔：在圓內(nèi)畫一個內(nèi)接正六邊形，如果圓直徑是1的話，

7、這個六邊形的周長就是3。而六邊形的周長顯然比圓小，那么圓周和直徑之比肯定大于三了。第3頁更進一步地，從比較正六邊形和圓的思路出發(fā)，劉徽找到了一個計算圓周長的方法——割圓術(shù)，即不斷增加圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)。他說，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边厰?shù)越多，周長和圓周越接近；無限地割下去，就可以無限趨近于圓周。這樣，算出多邊形的周長作為圓周長的近似值，除以直徑，就得到圓周率的近似值了。邊數(shù)越多，就越精確。這個思路并不復(fù)雜，落實起來卻有個問題需要解決：怎么實現(xiàn)“割之彌細”這個過程

8、呢？在地上畫一個大大的圓，然后在圓里畫一個很多很多邊的多邊形，然后計算多邊形的周長？你能告訴我96邊形的周長有多少嗎？有點難。直接算很多邊的形狀有點無從下手。劉徽迂回了一下，使用遞推的辦法，從邊數(shù)少的形狀開始往上增加。觀察下圖：對于一個圓內(nèi)接正多邊形，把每條邊對應(yīng)的圓弧平分，就能得到一個邊數(shù)是原來兩倍的正多邊形。如果我們從原來的邊長AB能推出新多邊形的邊長AC，問題就解決了。因為C是個平分點，整個圖