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《高中數(shù)學(xué)《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》文字素材1蘇教版必修5.docx》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、正、余弦定理應(yīng)用舉例高考連線本部分內(nèi)容主要考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)用能力.考查主要以應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題、求值、證明三角恒等式等為主,兼顧三角恒等變換能力、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.高考金題精析例1(2006上海高考)如圖1,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救,甲船立即前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1°)?解:如圖1所示,在△ABC中,AB20,AC10,BAC
2、.由余弦定理知120°BC2AB2AC2·202102220101700,∴BC107.2ABACcos1202由正弦定理得ABBC,sinACBsinBAC∴sinACBABsinBAC20sin120°21BC.1077∴ACB41°.∴乙船應(yīng)沿北偏東30°41°71°的方向沿直線前往B處救援.評(píng)析:在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)深刻理解一些有關(guān)名詞、術(shù)語的含義,如方位角、仰角、俯角等,并能準(zhǔn)確的與題目中相關(guān)知識(shí)結(jié)合,進(jìn)行準(zhǔn)確的定位.例2(2005年全國卷Ⅱ)△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b
3、2ac,cosB3.4(1)求11tanA的值;tanC(2)設(shè)BA·BC3,求ac的值.2解:(1)由cosB3,得sinB由b24sin2Bac及正弦定理得故11cosAcosCtanAtanCsinAsinC7.4sinAsinC.sinCcosAcosCsinAsinAsinC用心愛心專心1sin(AC)sinB147;2B2sinB7sinsinB(2)由BA·BC3,得cacosB3.22把cosB3代入上式,得ac2,即b22.4由余弦定理b2a2c22accosB,得a2c25,∴(ac)2a2c22ac54
4、9,∴ac3.評(píng)析:本題是正、余弦定理與平面向量等知識(shí)的交匯題,是高考命題的熱點(diǎn)題型.例3(2006江西高考題)如圖2,已知△ABC是邊長為1的正三角形,M,N分別是邊AB,AC上的點(diǎn),線段MN經(jīng)過△ABC的中心G.設(shè)MGAπ≤≤2π.33(1)試將△AGM,△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為的函數(shù);11(2)求y2S22的最大值和最小值.S1解:(1)因?yàn)镚為邊長為1的正三角形ABC的中心,所以AG233,MAGπ.3236由正弦定理GMGA,得GM3,ππsinπ6sinsin666則1·sin.S1GMGAsin
5、π212sin6又GNGA,得GN3,πsinπ6sinπsin666則1·sin;S2GNGAsin(π)π212sin6(2)y11144sin2πsin2π7221.S12S22sin266sin2用心愛心專心2因?yàn)棣小堋?π,所以當(dāng)π或2π時(shí),y的最大值為240;當(dāng)π時(shí),y取得最33332小值216.評(píng)析:可以將平面幾何的計(jì)算問題化歸到三角形中,利用正弦定理、余弦定理以及面積公式等基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題來處理.問題求解建模幫忙數(shù)學(xué)建模思想:就是從實(shí)際問題出發(fā),經(jīng)過抽象概括,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型,然
6、后通過推理演算,得出數(shù)學(xué)模型的解,最后還原成實(shí)際問題的解.那么在解題中建模思想是如何表現(xiàn)的呢?下面結(jié)合例題給大家具體的講解一下,以幫助同學(xué)們更好的體會(huì).例1現(xiàn)從雷達(dá)發(fā)現(xiàn)一艘船裝有走私物品,海關(guān)緝私隊(duì)立即由A港口乘快艇出發(fā)追擊此船,若快艇在A處時(shí),觀測到該船在北偏西15°的B處,A,B間的距離為100海里,且走私船以每小時(shí)40海里的速度沿東北方向行駛,快艇的速度可達(dá)每小時(shí)60海里,問快艇沿什么方向追擊,才能盡快追上走私船?用去多少時(shí)間?分析:讀完題之后,我們知道解決此問題的關(guān)鍵是如何把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,即建立數(shù)學(xué)模型.為此,我們
7、可以分四步來進(jìn)行:一是分析問題,首先確立兩船的相對(duì)位置及走私船的航向,確定最短追擊路線(形成三角形時(shí)追擊的時(shí)間最短);二是對(duì)實(shí)際問題抽象概括,得到三角形模型,并找到相應(yīng)的邊角關(guān)系;三是對(duì)得到的三角形模型求解;四是把得到的模型的解還原成實(shí)際問題的解,即解決問題.根據(jù)以上分析,我們首先作出示意圖,利用圖形把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.解:如圖1所示,設(shè)t小時(shí)后快艇追上走私船,則BC40t,AC60t.由余弦定理,得(60t)21002(40t)2210040tcos120°,化簡、整理,得t22t50,解得t16.由實(shí)際問題我們知道t16不
8、符合題意,故舍去.因此,我們可以得出t163.45(小時(shí)).用心愛心專心3再由正弦定理,得sinABCsinB40tsin120°3,AC60t3查表可知.A35.3°所以快艇應(yīng)沿北偏東20.3°,才能盡快追上走私船,用去約3.45小時(shí).提示:正弦定理與余弦定理的應(yīng)用過程其實(shí)