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《高中數(shù)學(xué)《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》文字素材1蘇教版必修5.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、正、余弦定理應(yīng)用舉例高考連線本部分內(nèi)容主要考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)用能力．考查主要以應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題、求值、證明三角恒等式等為主，兼顧三角恒等變換能力、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．高考金題精析例1（2006上海高考）如圖1，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1°）？解：如圖1所示，在△ABC中，AB20，AC10，BAC
2、．由余弦定理知120°BC2AB2AC2·202102220101700，∴BC107．2ABACcos1202由正弦定理得ABBC，sinACBsinBAC∴sinACBABsinBAC20sin120°21BC．1077∴ACB41°．∴乙船應(yīng)沿北偏東30°41°71°的方向沿直線前往B處救援．評(píng)析：在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)深刻理解一些有關(guān)名詞、術(shù)語的含義，如方位角、仰角、俯角等，并能準(zhǔn)確的與題目中相關(guān)知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行準(zhǔn)確的定位．例2（2005年全國卷Ⅱ）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b
3、2ac，cosB3．4（1）求11tanA的值；tanC（2）設(shè)BA·BC3，求ac的值．2解：（1）由cosB3，得sinB由b24sin2Bac及正弦定理得故11cosAcosCtanAtanCsinAsinC7．4sinAsinC．sinCcosAcosCsinAsinAsinC用心愛心專心1sin(AC)sinB147；2B2sinB7sinsinB（2）由BA·BC3，得cacosB3．22把cosB3代入上式，得ac2，即b22．4由余弦定理b2a2c22accosB，得a2c25，∴(ac)2a2c22ac54
4、9，∴ac3．評(píng)析：本題是正、余弦定理與平面向量等知識(shí)的交匯題，是高考命題的熱點(diǎn)題型．例3（2006江西高考題）如圖2，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G．設(shè)MGAπ≤≤2π．33（1）試將△AGM，△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為的函數(shù)；11（2）求y2S22的最大值和最小值．S1解：（1）因?yàn)镚為邊長為1的正三角形ABC的中心，所以AG233，MAGπ．3236由正弦定理GMGA，得GM3，ππsinπ6sinsin666則1·sin．S1GMGAsin
5、π212sin6又GNGA，得GN3，πsinπ6sinπsin666則1·sin；S2GNGAsin(π)π212sin6（2）y11144sin2πsin2π7221．S12S22sin266sin2用心愛心專心2因?yàn)棣小堋?π，所以當(dāng)π或2π時(shí)，y的最大值為240；當(dāng)π時(shí)，y取得最33332小值216．評(píng)析：可以將平面幾何的計(jì)算問題化歸到三角形中，利用正弦定理、余弦定理以及面積公式等基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題來處理．問題求解建模幫忙數(shù)學(xué)建模思想：就是從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型，然
6、后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，最后還原成實(shí)際問題的解．那么在解題中建模思想是如何表現(xiàn)的呢？下面結(jié)合例題給大家具體的講解一下，以幫助同學(xué)們更好的體會(huì)．例1現(xiàn)從雷達(dá)發(fā)現(xiàn)一艘船裝有走私物品，海關(guān)緝私隊(duì)立即由A港口乘快艇出發(fā)追擊此船，若快艇在A處時(shí)，觀測到該船在北偏西15°的B處，A，B間的距離為100海里，且走私船以每小時(shí)40海里的速度沿東北方向行駛，快艇的速度可達(dá)每小時(shí)60海里，問快艇沿什么方向追擊，才能盡快追上走私船？用去多少時(shí)間？分析：讀完題之后，我們知道解決此問題的關(guān)鍵是如何把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型．為此，我們
7、可以分四步來進(jìn)行：一是分析問題，首先確立兩船的相對(duì)位置及走私船的航向，確定最短追擊路線（形成三角形時(shí)追擊的時(shí)間最短）；二是對(duì)實(shí)際問題抽象概括，得到三角形模型，并找到相應(yīng)的邊角關(guān)系；三是對(duì)得到的三角形模型求解；四是把得到的模型的解還原成實(shí)際問題的解，即解決問題．根據(jù)以上分析，我們首先作出示意圖，利用圖形把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．解：如圖1所示，設(shè)t小時(shí)后快艇追上走私船，則BC40t，AC60t．由余弦定理，得(60t)21002(40t)2210040tcos120°，化簡、整理，得t22t50，解得t16．由實(shí)際問題我們知道t16不
8、符合題意，故舍去．因此，我們可以得出t163.45（小時(shí)）．用心愛心專心3再由正弦定理，得sinABCsinB40tsin120°3，AC60t3查表可知．A35.3°所以快艇應(yīng)沿北偏東20.3°，才能盡快追上走私船，用去約3.45小時(shí)．提示：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用過程其實(shí)
