第70講 函數(shù)問題選講.doc

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1、中高考找才子始建于1998年第70講函數(shù)問題選講本節(jié)主要內(nèi)容有運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識解決函數(shù)自身的問題和與函數(shù)有關(guān)的方程、不等式、數(shù)列等問題。A類例題例1如果在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點(diǎn)取相同的最小值，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．(1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解由于g(x)=x+=x+x+≥3=．當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時等號成立．由于∈[1，2]，故x=時g(x)取得最小值．因?yàn)閒(x)=x2+px+q=，所以－=且=，解得p=－2，q=+．由于－1<2－．故在[1．2]上f(

2、x)的最大值為f(2)=4－+．說明本題在求g(x)的最小值時，利用了均值不等式：（），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立。例2若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。（1994年“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽）18中高考找才子始建于1998年解法一根據(jù)函數(shù)值域定義，對于任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程，即恒有解，因此（*）恒成立。因?yàn)?，所以?）式成立的充要條件是，解得或。即實(shí)數(shù)的取值范圍是。解法二根據(jù)對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，的最小值應(yīng)不小于0，即，解得或。即實(shí)數(shù)的取值范圍是。說明解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式（關(guān)于的二次方程

3、）獲得解答；解法二運(yùn)用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的復(fù)合獲得思路。例3求函數(shù)f(x)=－的最大值。(1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)分析兩個根號內(nèi)都是四次式，可以把被開開方數(shù)分別配方成平方和，從而可以把f(x)看成是到某兩點(diǎn)的距離之差。解f(x)=－=－=－于是f(x)表示點(diǎn)P(x，x2)與點(diǎn)A(3，2)及B(0，1)距離差

4、PA

5、－

6、PB

7、。由于點(diǎn)P(x，x2)在拋物線y=x2上。即在拋物線上找到一點(diǎn)P，使

8、PA

9、－

10、PB

11、取得最大值．由三角形的兩邊差小于第三邊知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為拋物線與AB的延長線的交點(diǎn)時，

12、PA

13、－

14、PB

15、取

16、得最大值。18中高考找才子始建于1998年由于直線AB的方程為，由方程組解得，其中點(diǎn)（）在AB的延長線上。

17、AB

18、=。即函數(shù)f(x)=－的最大值為。說明注意點(diǎn)P的存在性要加以證明。情景再現(xiàn)1．函數(shù)y=－的值域是。(上海市1994年高中數(shù)學(xué)競賽)2．若不等式的解集是（4，b），則實(shí)數(shù)a=，b=。3．若對任何，不等式恒成立，則一定有（）A．B．C．D．B類例題例4函數(shù)f（x）定義在R上，對于任意實(shí)數(shù)m、n，恒有18中高考找才子始建于1998年，且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．（1）求證：f（0）＝1，且當(dāng)x＜0時，f（x

19、）＞1;（2）求證：f（x）在R上單調(diào)遞減；（3）集合A＝{（x，y）

20、f（x2）f（y2）＞f（1）}，B＝{（x，y）

21、f（ax－y＋2）＝1，a∈R）．若A∩B＝Ф，求a的取值范圍．證明（1）令m＝0，n＝1，則f(1)＝f(0)f(1)．∵x>0時，00，01．因?yàn)閒（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（

22、x1－x2）f（x2）>f（x2），(∵f（x2）>0)所以f（x）為R上的減函數(shù)．（3）由f（x2）f（y2）>f（1）得f（x2＋y2）>f(1），又f（x）為R上的減函數(shù)，∴x2＋y2<1．由f（ax－y＋2）＝1得ax－y＋2＝0．∵A∩B＝φ，∴直線ax－y＋2＝0與圓x2＋y2＝1相切或相離．故，∴．例5已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，－1）成中心對稱；（2）我們利用函數(shù)構(gòu)造一個數(shù)列，方法如下：對于給定的定義域中的，令，，…，，…，在上述構(gòu)造數(shù)列的過程中，如果（i＝2，3，4，…18中高考找才

23、子始建于1998年）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果不在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程停止．　?、偃绻梢杂蒙鲜龇椒?gòu)造出一個常數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②如果取定義域中任一值作為，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．（1）證明設(shè)點(diǎn)P（，）是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則，與點(diǎn)P關(guān)于（a，－1）的對稱點(diǎn)P’（2a－x0，－2－y0），因?yàn)?，，所以，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，－1）成中心對稱．（2）解①根據(jù)題意，只需x≠a時，有解，即有解，即有不等于a的解．所以由得a≤－3或a≥1，而當(dāng)時，。綜

24、上a≤－3或a≥1．②根據(jù)題意，應(yīng)滿足時無解，18中高考找才子始建于1998年即時無解．由于不是方程的解．所以對于任意，無解．所以a＝－1．例6求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意實(shí)數(shù)x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．(1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解令sinθ+cosθ=u，則2sinθc