一階偏微分方程求解方法.ppt

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1、1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加權(quán)余量法和變分法）解析法應(yīng)用范圍有限，適用于理論求解，但有強(qiáng)烈的物理含義（常系數(shù)微分方程）某些復(fù)雜問題，很考慮根本找不到解析解2.數(shù)值法工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛，復(fù)雜場(chǎng)域問題，但物理含義不很清楚。任何問題總可以找到數(shù)值解（數(shù)學(xué)方法）2.數(shù)值求解方法2/41.基本思想：以偏微分方程的近似解來代替其真解，只要近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。2.基本方法：假設(shè)一個(gè)近似解，該解一組（形式上）簡(jiǎn)單函數(shù)的線性組合來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù)然后建立一種考慮了微分方程和邊界條件的關(guān)于真解和近似解間誤差的目標(biāo)函數(shù)F

2、用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃繕?biāo)函數(shù)最小化――最小化的過程就確定了待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。嘗試函數(shù)，基函數(shù)，形函數(shù)2.數(shù)值求解方法2/4目標(biāo)函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就形成了不同的數(shù)值解法，電磁場(chǎng)中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法電磁場(chǎng)問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊界條件表述兩個(gè)偏微分方程形式相同，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢量的方程可以分解到個(gè)分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。在求解場(chǎng)域內(nèi)，偏微分方程的真解為

3、，近似解為它由一組簡(jiǎn)單函數(shù)的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù)即：3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法加權(quán)余量法簡(jiǎn)單函數(shù)，一般選用簡(jiǎn)單形式的函數(shù)，一旦選定就是已知的了待定系數(shù)是真正的求解目標(biāo)問題的自由度近似解3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即余數(shù)），并設(shè)法使其最小的方法。加權(quán)余量法誤差（即余數(shù)）的定義：注意：一般余數(shù)并不表示近似解與真解間的差（場(chǎng)域內(nèi)），加權(quán)余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別（即余數(shù)），來代表近似解接近偏微分方程真解的程度。問題的自由度3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余

4、量法當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時(shí)，就可以認(rèn)為近似解就是偏微分方程的解。要減少余數(shù)，我們可以通過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實(shí)現(xiàn)。為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加權(quán)函數(shù)的積分為0。－－“加權(quán)余量法”的來由。3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法加權(quán)余數(shù)的定義：加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù)3.電磁場(chǎng)位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法－加權(quán)余量法由此構(gòu)建加權(quán)量法的目標(biāo)函數(shù)：上述過程中，已經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為j個(gè)代數(shù)方程組，便于計(jì)算機(jī)求解。關(guān)于函數(shù)是

5、函數(shù)，稱為：泛函數(shù)，或泛函3.加權(quán)余量法－－例例1.兩極電容板內(nèi)部電場(chǎng)分布問題：根據(jù)問題特點(diǎn)將3維問題簡(jiǎn)化為2維，進(jìn)一步簡(jiǎn)化為1維。該問題是靜態(tài)電場(chǎng)問題，偏微分方程和邊界條件：加權(quán)余量法求解：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：3.加權(quán)余量法－－例理論上任意選取，操作中越簡(jiǎn)單越好2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：3.加權(quán)余量法－－例3.加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：3.加權(quán)余量法－－例3.加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：3.加權(quán)余量法－－例4.求解上述兩個(gè)代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解3.加權(quán)余量法－－例加權(quán)余量法求解流程：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表

6、達(dá)式3.寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式4.令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解該靜態(tài)電場(chǎng)問題的真解（解析解：）3.加權(quán)余量法－－例真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數(shù)，但求解過程會(huì)復(fù)雜，可見嘗試函數(shù)的選取是有技巧的。4.加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納一般化偏微分方程：線性微分算子則其余數(shù)為：令加權(quán)余數(shù)為0，構(gòu)建代數(shù)方程：4.加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形：有j個(gè)代數(shù)方程，通常等于待定系數(shù)個(gè)數(shù)4.加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納代數(shù)方程寫成矩

7、陣形式：系數(shù)激勵(lì)邊界條件系數(shù)矩陣n×n待定系數(shù)矩陣、源矩陣、邊界矩陣n×1矩陣元素值：雖然元素值還需要積分、微分的求得，還難以借助計(jì)算機(jī)求解，但至少化為了代數(shù)方程組。通過選擇合適的加權(quán)函數(shù)和嘗試函數(shù)可以大大簡(jiǎn)化矩陣元素的矩陣方程。有限元方法就是如此5.加權(quán)余量法的進(jìn)一步優(yōu)化（邊界條件的處理）適當(dāng)?shù)倪x取加權(quán)函數(shù)，并對(duì)加權(quán)余數(shù)積分進(jìn)行處理，可使某些邊界條件從加權(quán)余數(shù)的表達(dá)式中消失，從而簡(jiǎn)化矩陣方程及其系數(shù)的求解。以有源靜電場(chǎng)問題為例（帕松方程）由近似解表述的加權(quán)余數(shù)為：5.加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)