矩陣初等變換及其應(yīng)用論文

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1、矩陣初等變換及其應(yīng)用畢業(yè)論文矩陣初等變換及其應(yīng)用畢業(yè)論文摘要：初等變換是高等代數(shù)和線性代數(shù)學(xué)習(xí)過程中非常重要的，使用非常廣泛的一種工具。本文列舉了矩陣初等變換的幾種應(yīng)用，包括求矩陣的秩、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣、判斷線性方程組解的狀況、求解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無關(guān)組、求向量空間兩個(gè)基的過渡矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。并用具體例子說明矩陣初等變換在以上幾種應(yīng)用中是如何運(yùn)用的。關(guān)鍵詞：矩陣初等變換初等矩陣在代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我發(fā)現(xiàn)矩陣的初等變換有許多應(yīng)用，幾乎貫穿著始終。本文將對(duì)矩陣

2、的初等變換進(jìn)行介紹并以具體例子說明矩陣初等變換的七種應(yīng)用。雖然這些計(jì)算格式有不少類似之處，但是也指出由于這些計(jì)算格式有不同的原理，所以它們的應(yīng)用也有一些明顯的區(qū)別。定義1：矩陣的行（列）初等變換是指對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換：（1）交換矩陣的兩行（列）(交換第i，j兩行（列），記作）；（2）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素（用數(shù)k乘以第i行（列），記作；（3）用某一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素再加到另一行（

3、列）的對(duì)應(yīng)元素上(第i行（列）k倍加到第j行（列），記作。初等行、列變換統(tǒng)稱為初等變換。定義2：對(duì)單位矩陣I僅施以一次初等變換后得到的矩陣稱為相應(yīng)的初等矩陣，分別記為第1、2、3類行（列）初等矩陣為，，，有==22====初等變換與初等矩陣之間有下列基本性質(zhì)。定理1：對(duì)mn矩陣A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣B，等于以一個(gè)相應(yīng)的m階（n階）初等矩陣左（右）乘A。下面將介紹幾種實(shí)用初等變換的方法。由于側(cè)重實(shí)際應(yīng)用方面，在表述方面著重講清基本概念、原理和計(jì)算方法，避免繁瑣、冗長(zhǎng)的理論推導(dǎo)和證明，力求簡(jiǎn)明準(zhǔn)確；將抽象的理

4、論，從具體問題入手，通過典型例題對(duì)基本概念、所涉及的方法進(jìn)行融會(huì)貫通。1、求矩陣的秩由于初等變換不改變矩陣的秩，如果我們要求一個(gè)矩陣的秩，可以先利用行初等變換將其化為行階梯形矩陣。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。這樣我們就可以求出原矩陣的秩。定義1：在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序二而得到的k階行列式，稱為A的k階子式。定義2：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作r（A），并規(guī)定零矩陣的秩等于零。定理1：

5、初等變換不改變矩陣的秩。推論1：若A是一個(gè)的矩陣，經(jīng)過初等變換可以得到一個(gè)行階梯形矩陣B，顯然B與A等價(jià)，有r（A）=r（B）。例1求矩陣A的秩，A=。解：22A=。所以由推論得：A的秩為3。例2求矩陣A=的秩r（A）。解：A==B所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征，矩陣的許多重要性質(zhì)都可以通過它來反映，如矩陣非零子式的最高階數(shù)，矩陣行（列）向量組的線性相關(guān)性等。2、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來求一個(gè)矩陣的逆矩陣工作量非

6、常大。然而根據(jù)可逆矩陣與初等矩陣之間的關(guān)系，矩陣求逆的問題可以通過初等變換很輕松的解決。利用初等變換判定矩陣為可逆陣的方法有：1）滿秩法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是r（A）=n。2）初等變換法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是可通過對(duì)A作有限次行（或列）初等變換后化為單位陣。定理1：矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。例1判定矩陣A=是否可逆。解：221）滿秩法：A=，所以r（A）=3，即矩陣A為滿秩，故矩陣A可逆。2）初等變換法：A=，所以矩陣A可逆。一種求逆的方法：將分塊矩陣進(jìn)行行初

7、等變換，當(dāng)前面一塊變成單位矩陣時(shí)，后面一塊就是。例2設(shè)A=，求。解：因?yàn)锳=有22所以=。另一種求逆方法：將分塊矩陣進(jìn)行列初等變換，當(dāng)上面一塊變成單位矩陣時(shí)，下面一塊就是。例3已知矩陣A=可逆，用列初等變換法求。解：=，22從而得到：A-1=。在用初等變換法求逆的過程中，或從始至終只作行的初等變換，或從始至終只作列初等變換。絕不能同時(shí)作行與列的初等變換。3、判斷線性方程組解的狀況齊次線性方程組有個(gè)明顯的零解x=0，稱其為平凡解。于是，對(duì)于齊次線性方程組，只需研究其在何種情況下有非零解（非平凡解）。定理1：n元齊次線性方

8、程組Ax=0有非零解的充分且必要條件為它的系數(shù)矩陣的秩r（A）