常微分方程的概念.doc

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1、5.1常微分方程的概念課題：常微分方程的概念目的要求:了解微分方程、方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念。重點(diǎn)：常微分方程的概念難點(diǎn)：列常微分方程教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)進(jìn)程：我們先看下面的兩個(gè)例子．例1已知一曲線通過(guò)點(diǎn)（1，3），且在該曲線上任意點(diǎn)M處的切線的斜率為，求這曲線的方程．解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知所求曲線應(yīng)滿足方程．（１)將方程（1)兩邊積分，得,（２)其中C是任意常數(shù)．因?yàn)榍€通過(guò)點(diǎn)，將條件代入（3）式，得．故得所求曲線方程為．?。ǎ?例2一物體以初速垂直上拋，設(shè)此物體的運(yùn)動(dòng)只受重力的影響，試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．解因?yàn)?/p>

2、物體運(yùn)動(dòng)的加速度是路程對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),且題設(shè)只受重力的影響，所以由牛頓第二定律有即(４)其中物體的質(zhì)量為，重力加速度為，且垂直向上的方向?yàn)檎较颍驗(yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)速度,所以（４）式可寫(xiě)為或兩邊積分,得或　　　　　(５）再對(duì)上式積分,得(６）其中為任意常數(shù)．如果假設(shè)物體開(kāi)始上拋時(shí)的路程為，則由題意有，代入（5)、(６）式，得．于是所求的函數(shù)關(guān)系為．上述兩個(gè)例子中的方程（1）與（４）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．對(duì)于這類方程，給出下面的定義：定義1含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程．其中未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．例如方程（1）與(４)都是常微分方程．這

3、里必須指出，在微分方程中,未知函數(shù)及自變量可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須出現(xiàn)．微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階．例如方程(1)是一階常微分方程，方程(４）是二階常微分方程．如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，能使該方程變成恒等式，這樣的函數(shù)稱為微分方程的解．在例1中，函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)都等于，所以它們都是微分方程的解．如果微分方程的解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解．例如，函數(shù)（2）是方程（1)的解，它含有一個(gè)任意常數(shù),而方程(1）是一階的,所以函數(shù)（2)是方程（1）的通解．又如，函數(shù)（6)是方程（4)的解，它含

4、有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，而方程是二階的，所以函數(shù)（6）是方程（4）的通解。如果通解中的任意常數(shù)取某定值，或利用附加條件求出任意常數(shù)應(yīng)取的值，所得的解叫做微分方程的特解．例如函數(shù)(３）是方程（1）的特解．而確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件．一階微分方程的初始條件是，其中都是定值;二階微分方程的初始條件是其中和都是定值．例3驗(yàn)證函數(shù)是二階微分方程的通解（為任意常數(shù)）．解因?yàn)椤　　　　　。?將及代入方程,得　（)所以函數(shù)是微分方程的解．因?yàn)榻庵泻袃蓚€(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，與微分方程的階數(shù)相同，故是微分方程的通解．小結(jié)本講內(nèi)容：強(qiáng)調(diào)微分方程、方程的階、解、通解、初始條件、特解

5、等概念?！　　　　　　∽鳂I(yè)：P1441；2；3；4；5。