新寶6娛樂(lè)平臺(tái)主管68115.ppt

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1、3.2函數(shù)極限的性質(zhì).極限的性質(zhì)二.利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限新寶6娛樂(lè)主管68115定理3.2如果當(dāng)x?x0時(shí)f(x)的極限存,那么這極限是唯一的?證明，xxfBA時(shí)的極限當(dāng)都是設(shè)0,?,)(0,0,0101edde<-<-<>$>"Axfxx時(shí)有當(dāng)則,)(0,0202edd<-<-<>$Bxfxx時(shí)有當(dāng)故有同時(shí)成立時(shí)則當(dāng)取，xx)2(),1(0),,min(021dddd<-<=.2)()())(())((e<-+-￡---=-BxfAxfBxfAxfBA..即其極限唯一的任意性得由BA=e(

2、1)(2)一函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性2.局部有界性若極限存在，則函數(shù)在的某一空心鄰域上有界。證明有使得則取設(shè));(,0,1,)(lim00ddexUxAxfxxo?">$==?.1)(1)(+

3、x)?r>0(或f(x)?-r<0)?證明);(,0,),1,0(,00ddexUxrArA?">$-=?">使得則取設(shè).)(rAxf=->e有.0的情形類似可證對(duì)于

4、xfxxxx==??設(shè))1(),(0,0,0101xfAxx<-<-<>$>"edde時(shí)有當(dāng)則)2(.)(0,0202edd+<<-<>$Bxgxx時(shí)有當(dāng)于是有同時(shí)成立與不等式時(shí)則當(dāng)令，xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021'￡<-<=ddddd,)()(ee+<￡<-BxgxfA.,2BABA￡+<的任意性知由從而ee4保不等式推論定理3.6如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件?(1)g(x)?f(x)?h(x)?(2)limg(x)?A?limh(x)?A?那么limf

5、(x)存在?且limf(x)?A?證明),(0,0,0101xgAxx，<-<-<>$>"edde時(shí)有當(dāng)按假設(shè).)(0,0202edd+<<-<>$Axhxx時(shí)有當(dāng)故有同時(shí)成立時(shí)上兩不等式與則當(dāng)令,)()()(0},,min{021xhxfxgxx￡￡<-<=dddd,)()()(ee+<￡￡<-AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx=<-?即由此得e5迫斂性定理3.7設(shè),則1）2）3）6四則運(yùn)算法則(3)的證明只要證，令，由，使得當(dāng)時(shí)，有，即,仍然由，.，使得當(dāng)時(shí)，有.取，則當(dāng)時(shí)，有即推論1

6、常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2⑤定理的條件：存在商的情形還須加上分母的極限不為0⑥定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商⑦定理中極限號(hào)下面沒(méi)有指明極限過(guò)程，是指對(duì)任何一個(gè)過(guò)程都成立).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf=則為常數(shù)而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf=則是正整數(shù)而存在如果二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限..已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：（注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值）利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原是：

7、通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,參閱[4]P37—38.我們將陸續(xù)證明這些公式.利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，可以從一些“簡(jiǎn)單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限。例１　求.例２　求.例３　求.(利用極限和)例4證明證（不妨設(shè)ε＜1）例6求例5求註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.參閱[4]P37[利用公式]求A和B.補(bǔ)充題:已知求極限方法舉例例7解小結(jié):例8解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例

8、9解(消去零因子法)例10解(無(wú)窮小因子分出法)小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.例11解先變形再求極限.由以上幾例可見(jiàn)，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時(shí)可以利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求極限。三、復(fù)合函數(shù)極限定理（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則——變量代換法則）證由極限定義