§13.2 推理的幾種基本方法

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1、§13.2推理的幾種基本方法預(yù)備知識(shí)●不等式基本性質(zhì)及不等式的解法●素?cái)?shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等概念●數(shù)列的有關(guān)知識(shí)●立體幾何中有關(guān)體的概念●函數(shù)的奇偶性與函數(shù)圖象的對(duì)稱性重點(diǎn)●合情推理與演繹推理的一般方法●歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用●演繹推理的一般形式及其應(yīng)用●數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用難點(diǎn)●歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用●演繹推理的一般形式及其應(yīng)用●數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用學(xué)習(xí)要求：●通過(guò)學(xué)習(xí)教材中列舉的例子體會(huì)歸納推理與類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用，并能對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題作出合情推理，提出一些合情的猜想●理解演繹推理

2、的一般形式及其應(yīng)用方法，會(huì)運(yùn)用演繹推理解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題●理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的關(guān)于自然數(shù)n的數(shù)學(xué)命題●了解數(shù)學(xué)歸納法的局限性27“若p則q”形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)命題的建立，命題是否為真的判定，都需要一個(gè)邏輯推理過(guò)程．根據(jù)命題不同，證明的方法也各不相同．這種推理、證明方法，也就是所謂邏輯思維．在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)命題本身的同時(shí)，了解和學(xué)習(xí)邏輯推理過(guò)程、證明方法，有助于我們建立正確的推理方法，提高我們的邏輯思維能力．在本節(jié)，我們將對(duì)邏輯推理過(guò)程和證明的方法作一個(gè)概括性的介紹和小結(jié)，使你在今后的學(xué)

3、習(xí)中能提高主動(dòng)性，減少盲目性．最后，我們還將學(xué)習(xí)一種新的推理證明方法——數(shù)學(xué)歸納法．1.幾種主要的邏輯推理導(dǎo)出和判定命題真假，離不開(kāi)推理過(guò)程．推理必須符合邏輯，即應(yīng)該是邏輯推理．對(duì)不同的命題，盡管推理過(guò)程千變?nèi)f化，但并非無(wú)章可循，我們?nèi)匀豢梢詮闹锌偨Y(jié)出一些基本規(guī)律和原則．簡(jiǎn)單地說(shuō)，推理可以分為合情推理與演繹推理兩大類．合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等，推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程．看下面這個(gè)例子：6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7

4、；……我們可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：各等式的左邊是大于4的偶數(shù)，右邊各加數(shù)為奇素?cái)?shù)．由此可以合乎情理地推測(cè)，大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和．這就是著名的哥德巴赫猜想．它是從有限個(gè)特例通過(guò)不完全歸納提出的猜想．這就是合情推理的一種，叫做歸納推理．眾所周知，到目前為止這個(gè)淺顯易懂的猜想尚未得以證明．換言之，盡管我們目前還舉不出反例，但它仍然只是個(gè)猜想，未必正確．演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程．合情推理與演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成．下面對(duì)合情推理與

5、演繹推理的一般形式及其特點(diǎn)加以分析．27(1)歸納推理歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)是從具體事實(shí)中概括出一般結(jié)論的一種推理模式．如果僅能對(duì)部分事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做不完全歸納法；如果能窮盡全部事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做完全歸納法．不要被“不完全歸納法”、“完全歸納法”之類的名稱嚇倒，其實(shí)這種歸納法你經(jīng)常在應(yīng)用．例如，給出數(shù)列前幾項(xiàng){an}={2,4,6,8,…}，{bn}={,…}，要求寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)，你立即會(huì)寫(xiě)出an=2n，bn=(n=1,2,3,…)．這就是歸納推理．當(dāng)然在沒(méi)有對(duì)所有正自然數(shù)n驗(yàn)證之前，只是不完全歸納；一旦根據(jù)其它

6、條件得到了驗(yàn)證，就成為完全歸納了．不完全歸納法是一種合情推理，得出的結(jié)論未必是正確的．17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾通過(guò)不完全歸納得出猜想“(n?N)是一個(gè)素?cái)?shù)”．在n=0,1,2,3,4時(shí)這個(gè)猜想都是正確的，但隨著n的增加，an增長(zhǎng)太快了，而要確定一個(gè)很大的數(shù)是否為素?cái)?shù)又非常困難，所以這個(gè)猜想長(zhǎng)期處于既不能證明其為真，但又不能舉出反例證明其為假的兩難境地．直至18世紀(jì)，另一位大數(shù)學(xué)家歐拉才證明了當(dāng)n=5時(shí)它是錯(cuò)的．同樣，哥德巴赫猜想也是通過(guò)不完全歸納法得出的結(jié)論，它的正誤尚無(wú)定論，因此僅僅叫做猜想．然而有些不完全歸納法導(dǎo)

7、出的結(jié)論，也被人們所認(rèn)可．例如在初中，我們通過(guò)度量各種三角形的內(nèi)角大小，得出“三角形內(nèi)角和為180°”的結(jié)論，因?yàn)槲覀儾⑽茨?實(shí)際上也不可能)對(duì)全部三角形作驗(yàn)證，因此它也是一種由不完全歸納法得出的結(jié)論．完全歸納法必須窮盡被考察對(duì)象的一切特例后才能作出結(jié)論，因而結(jié)論是確鑿可靠的．但是要無(wú)一遺漏地考察所有特例往往是困難的，只有在某些特定的情況，才有作出完全歸納的可能．課內(nèi)練習(xí)11.作出直線，并從圖象上觀察這條直線是否經(jīng)過(guò)整點(diǎn)．(注：整點(diǎn)是指在直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))2.請(qǐng)你猜想：直線是否永遠(yuǎn)不會(huì)經(jīng)過(guò)整點(diǎn)．

8、3.你能寫(xiě)出一個(gè)“直線y=kx+b永遠(yuǎn)不經(jīng)過(guò)整點(diǎn)”的充分條件嗎？4.你能證明你對(duì)第2題的猜想嗎？5.下表列出了一些多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，請(qǐng)你先將表格填寫(xiě)完整，然后猜想任意多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間有沒(méi)有關(guān)系．27多面體名稱頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)四面體464正方體8多面體名稱頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)三棱柱6五棱臺(tái)156.判斷分段函數(shù)的奇偶性．7.回憶指數(shù)