例談橢圓定義在解題中的應(yīng)用

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1、例談橢圓定義在解題中的應(yīng)用定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，對于某些數(shù)學(xué)問題，若能靈活運用定義解題，往往事半功倍，本文舉例說明橢圓定義在解題中的應(yīng)用。一、解方程例1分析：常規(guī)方法是經(jīng)過兩次平方去根號求解，但運算繁雜，難免不出錯。如果聯(lián)想到橢圓的第一定義，將方程配方后令，得，則點M（x，y）的軌跡是以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，從而原方程的解等價于已知橢圓上點的縱坐標去求它們的橫坐標。解：由原方程可得解得二、判斷方程表示的曲線例2已知，且滿足，試判斷點M的軌跡是怎樣的曲線。分析：若將原方程平方，化簡后并不能

2、直接判斷出軌跡是什么曲線，注意式子結(jié)構(gòu)的特點，左邊可看成點M到點（2，0）的距離，從而可聯(lián)想右邊可化為點M到直線的距離，即有，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，就很簡單地求出點M的軌跡是橢圓。三、求參數(shù)的取值范圍例3（2004年高考·全國卷III）設(shè)橢圓的兩個焦點是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且橢圓上存在點P，使得直線PF1與直線PF2垂直，求m的取值范圍。解：由題意知m>0，，，且②2－①得：3又所以，即，所以例4（1997年全國聯(lián)賽題）若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（

3、0，5）D.（5，+∞）分析：由已知得即依題意，此方程表示橢圓，根據(jù)橢圓的第二定義，得，解得m>5，選D。四、求最值例5（1）（1999年全國聯(lián)賽題）給定A（-2，2），已知B是橢圓上動點，F(xiàn)是左焦點，當取最小值時，求B點坐標。（2）已知橢圓內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點，M是橢圓上動點，求

4、MP

5、+

6、MF

7、的最小值。分析：此題如果按一般求最值的方法先建立目標函數(shù)，再求最值，因含有兩個根式的和，代入消元不易，難以求解，但如果我們注意數(shù)量特征，利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化，則可得到如下簡解。解：（1）顯然點A在橢圓內(nèi)部，由橢圓第

8、二定義可得：B到橢圓左準線l的距離，所以，結(jié)合平面幾何知識，可知，當AB⊥l時，最小，此時易求B點坐標為（，2）（2）設(shè)橢圓的左焦點為F'，由平面幾何知識，得，當且僅當M為線段F'P的延長線與橢圓交點時取等號。所以所以的最小值為。五、求軌跡方程例6（2002年春季高考題）已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上一個動點，如果延長F1P到Q，使得，那么動點Q的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線一支D.拋物線解：因為，所以由橢圓第一定義得，故，即Q點軌跡是以F1為圓心，以2a為半徑的圓，選A。3六、求焦點三角形的面積例7已知點P是橢

9、圓上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，且∠F1PF2＝α，求△F1PF2的面積S。解：△PF1F2中，由余弦定理，得所以故七、求離心率例8已知P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求橢圓離心率。解：△PF1F2中，由正弦定理有八、求離心率取值范圍例9（2001年“希望杯”賽題）F1、F2是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠F1PF2＝120°，求橢圓離心率的取值范圍。解：由同例8得又，所以。3