橢圓中的最值問題

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1、3橢圓中的最值問題一．橢圓中線段的最值（1）橢圓中最長的直徑為，最短的直徑為；（2）橢圓中最長的焦點弦為，最短的焦點弦為通徑（）；（3）橢圓中最大的焦半徑為，最小的焦半徑為；或者說：橢圓上任一點到焦點的距離的最大值為，最小值為；二．橢圓中常見角的最值設(shè)點為橢圓上任一點，則焦點三角形的頂角的最大值為，且，的最大值為；的最大值為；例1．為橢圓上的一點，、為橢圓的兩個焦點，則最小值為三．平面內(nèi)任一點到兩定點的距離之和（差）的最值問題設(shè)為平面內(nèi)一動點，、為兩定點，則當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時取得最小值；圖1當(dāng)且僅當(dāng)點在線段（或）的延長線時取等號．圖2例2．（1）已知點，點，點在

2、軸上移動，使得最小，則點的坐標(biāo)為．（2）已知橢圓的右焦點為，，點在橢圓上，則的最小值是；的最大值是．3例3．已知橢圓內(nèi)有一點，為右焦點，在橢圓上有一動點，則的最大值為，最小值為．四．平面內(nèi)一動點到一定點和定直線的距離之和的最小值問題設(shè)為平面內(nèi)一動點，為定直線外的一定點，為到的距離，為到的距離，則的最小值為．例4．已知定點，為橢圓的左焦點，點為上的動點，則的最小值為．五．直線上一動點與兩定點的視角的最大值問題、是直線同側(cè)兩定點，且直線，點為直線上一動點，則有最大值．使最大的點有何幾何意義呢？由于點、是定點，為定直線，我們不妨利用幾何畫板研究過三點、、的圓，（如圖5、

3、6）當(dāng)點在直線上運動時，過三點、、的圓與直線的關(guān)系是相交或相切，當(dāng)圓與直線相交時，上總存在點在圓內(nèi)且使；當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時，直線上除切點外，其余點均在圓外，由同弧上的圓周角與圓外角的大小關(guān)系，此時最大，切點即為所求．3例5．是橢圓的左右焦點，是橢圓的準(zhǔn)線，點，求的最大值．（）解法2：因為當(dāng)過、三點的圓與準(zhǔn)線相切時，最大，由切割線定理得，故六．當(dāng)直線與橢圓相離時，橢圓上總存在到直線的距離有最大（?。┲档狞c方法1：設(shè)，利用點到直線的距離公式——求三角函數(shù)的最值；方法2：設(shè)與平行的直線系——與橢圓方程聯(lián)立消元——令——得出與平行的橢圓的兩條切線、——求出與、與的距離

4、即為所求．例6．設(shè)是橢圓的右焦點，以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于A、B兩點，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線交橢圓于M、N兩點，O為原點，求△MON面積的最大值．練習(xí)1．（）已知點P是拋物線上的動點，點P在軸上的射影是M，點A的坐標(biāo)為，則的最小值是（A）（B）4（C）（D）5練習(xí)2．已知拋物線和一點，在拋物線上求一點，使得此點到點與到焦點的距離之和最?。?/p>