高等數(shù)學(xué)_導(dǎo)數(shù)微分邊際與彈性(習(xí)題)

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1、第三章導(dǎo)數(shù)微分邊際與彈性習(xí)題3-11、設(shè)有一根細棒位于軸上的閉區(qū)間處,對棒上任意一點處,細棒分布在上的質(zhì)量為,用導(dǎo)數(shù)表示細棒在處的線密度(對均勻細棒,單位長細棒的質(zhì)量叫該棒的線密度.解：在上,細棒的質(zhì)量為,平均線密度為,那么,細棒在處的線密度為.2、當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時,物體就不斷冷卻,若物體的溫度與時間的函數(shù)關(guān)系為,用導(dǎo)數(shù)確定該物體在時刻的冷卻速度.解：從時刻到時刻,物體平均冷卻速度為,那么,物體在時刻的冷卻速度為.3、質(zhì)量為的某種金屬從加熱到所吸收的熱量為.它從升溫到,所需的熱量為,稱為這種金屬從到的平均比熱的平均比熱,用導(dǎo)數(shù)表示該金屬在時的

2、比熱.解：從升溫到,金屬的平均比熱為,那么,金屬在時的比熱為.4、設(shè),試按定義求.解：.5、下列各題中均假定存在,按照導(dǎo)數(shù)定義求下列極限,指出表示什么?(1).(2).(3)設(shè)且存在,則.(4)設(shè)為不等于零的常數(shù),則.6、設(shè)(為常數(shù)),判定下列命題的正確性.(1)在點可導(dǎo)；解：正確.因存在且等于,于是在點可導(dǎo),且.(2)；解：正確.因,有,,于是,.另解：正確.因,有,,于是,.(3)存在；解：正確.因.(3).解：正確.(同上)7、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；解：.(2)；解：.(3)；解：.(4)；解：.(5)；解：.(6)；解：.8、設(shè)函數(shù)可導(dǎo),且求.解

3、：.9、如果為偶函數(shù),且存在,證明.證明：因為為偶函數(shù),有,又存在,于是,所以.10、求曲線上點處的切線方程和法線方程.解：因,那么切線斜率：,法線斜率：.切線方程為,即；法線方程為,即.10、求過點的一條直線,使它與曲線相切.解：曲線在點的切線斜率為,于是,切線方程為,因此線過點,有又,聯(lián)立上兩方程解之得,故所求直線方程為即.11、討論下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：(1)在處；解：①因,,由于,故在處不可導(dǎo).②因,,知,故在處連續(xù).(2)在處；解：①因,,由于,故在處不可導(dǎo).②因,故在處連續(xù).(3)在處；解：①因,故在處不可導(dǎo).②因,故在處不連續(xù).另

4、解：因,知在處不連續(xù),從而在處不可導(dǎo).13、設(shè)函數(shù)　求導(dǎo)函數(shù).解：①當(dāng)時,,有；②當(dāng)時,,有；③當(dāng)時,由于,,于是.④總之,14、已知在處連續(xù),且,求.解：由條件知,于是.15、設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo),應(yīng)取什么值？解：①由于,那么,為了使函數(shù)在處連續(xù),只需,即；②取,由于,,可見,為了使函數(shù)在處可導(dǎo),只需,即；③總之,為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo),應(yīng)取,.16、設(shè),其中在處連續(xù),求.解：依題意,有,且,那么.17、證明:雙曲線上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證明：雙曲線即,其上點處切線斜率為:,切線方程為:,令,得切線與軸的交點縱坐標(biāo)

5、,令,得切線與軸的交點橫坐標(biāo),于是,切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為　　　.習(xí)題3-21、推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,.證明：..2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).另解：.(8).(9).(10).3、求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：(1),求和.解：由于,于是,.(2),求.解：由于,于是.(3),求和.解：由于,于是,.4、求曲線的切線方程,使該切線平行于直線.解：已知直線的斜率為,依題意,曲線在點所求切線的斜率,　　得,相應(yīng)的,則所求切線方程為　,即.5、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1).(2).(3).(4)

6、.(5).(6).(7).(8).(9).(10).6、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).7、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).另解：.8、設(shè)函數(shù)和可導(dǎo),且,試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：.9、設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù),求下列導(dǎo)數(shù)：(1).(2).10、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).習(xí)題3-31、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；解：，,.(2)；解：，.(3)

7、；解：，.(4)；解：，.(5)；解：，.(6)；解：，.(7)；解：，.(8)；解：，.2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值：(1),求；解：,,,于是.另解：于是.(2),求；解：,,于是.另解：,,由于,那么.(3),求；解：,,于是.3、試從導(dǎo)出：(1).(2).4、設(shè)二階可導(dǎo),求：(1);解：,.(2);解：,.(3);解：,.(4).解：,.5、驗證函數(shù)(是常數(shù))滿足關(guān)系式：.證明：由于,,所以　.6、驗證函數(shù)滿足關(guān)系式：.證明：由于,,所以　.注意　記住下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：(1).證：(1)當(dāng)時,,公式成立.(2)假設(shè)公式對成立,即.(3).即公式對成立.(2

8、).證：(1)當(dāng)時,,公式成立.(2)假設(shè)公式對成立