傅里葉變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用

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1、傅里葉變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用傅里葉變換簡(jiǎn)單的說，就是把信號(hào)從時(shí)域變化的頻域分析。傳統(tǒng)的傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)處理中使用的并不多，因?yàn)楦道锶~變換是一般用于連續(xù)信號(hào)的分析。使用最多的是離散傅里葉變換（DFT），而DFT是可以使用快速傅里葉變換（FFT）實(shí)現(xiàn)的。也就是運(yùn)算復(fù)雜度小，可以用DSP等硬件輕易實(shí)現(xiàn)。DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理的基礎(chǔ)，應(yīng)用非常廣泛，比如自適應(yīng)濾波器啊，陣列信號(hào)處理、正交頻分復(fù)用等等都用的到。傅里葉變換在信號(hào)處理中有著很廣泛的應(yīng)用，首先我們來了解一下什么是傅里葉變換。f(t）是t的函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可

2、積。則有下圖①式成立。稱為積分運(yùn)算f(t）的傅立葉變換，②式的積分運(yùn)算叫做F（ω）的傅立葉逆變換。F（ω）叫做f(t）的像函數(shù)，f(t）叫做F（ω）的像原函數(shù)。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。①??傅里葉變換②??傅里葉逆變換傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值譜——顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大小）。盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征

3、。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì)，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；2.傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率

4、正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取；4.著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；5.離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT)).正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。有関傅立葉變換的FPGA實(shí)現(xiàn)傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中的基本操作，廣泛應(yīng)用于表述及分析離散時(shí)域信號(hào)領(lǐng)域。但由于其運(yùn)算量與變換點(diǎn)數(shù)N的平方成正比關(guān)系，因此，在N較大時(shí)，直接應(yīng)用DFT算法進(jìn)行譜變換是不切合實(shí)際的。然而，快

5、速傅立葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPGA來實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k點(diǎn)FFT的設(shè)計(jì)方法。離散傅里葉變換的應(yīng)用DFT在諸多多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，下面僅是頡取的幾個(gè)例子。需要指出的是，所有DFT的實(shí)際應(yīng)用都依賴于計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（即FFT）是計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。）。1.頻譜分析DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)均勻采樣并截?cái)嘁缘玫接邢揲L(zhǎng)的離散序列，對(duì)這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號(hào)x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析

6、需要注意的兩個(gè)問題：即采樣可能導(dǎo)致信號(hào)混疊和截?cái)嘈盘?hào)引起的頻譜泄漏?？梢酝ㄟ^選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率（見奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當(dāng)?shù)男蛄虚L(zhǎng)度并加窗可以抑制頻譜泄漏。2.數(shù)據(jù)壓縮由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語音、音頻、圖像、視頻等信號(hào)的高頻部分除去。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié)，濾除高頻信號(hào)可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時(shí)域或空域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，僅儲(chǔ)存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號(hào)?？焖俑道锶~變換的應(yīng)用離散傅里葉變換(DFT)存在的

7、不足是計(jì)算量太大,很難進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)的DFT,一般需要次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。因此,當(dāng)N較大或要求對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理時(shí),往往難以實(shí)現(xiàn)所需的運(yùn)算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法,經(jīng)其他學(xué)者進(jìn)一步改進(jìn),很快形成了一套高效運(yùn)算方法,這就是現(xiàn)在通用的快速傅里葉變換,簡(jiǎn)稱FFT快速傅里葉變換的產(chǎn)生，使得傅里葉變換大為簡(jiǎn)化，在不犧牲耗電量的條件下提高了系統(tǒng)的運(yùn)算速度，增強(qiáng)了系統(tǒng)的綜合能力，提高了運(yùn)算速度，因此快速傅里葉變換在生產(chǎn)和生活中都有著非常重要的作用，對(duì)于學(xué)習(xí)掌握都有著非常大的意義。