信號的時頻分析：

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1、小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關的領域。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個不相關的領域：包括語音識別中的鏡向濾波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短

2、時波形處理等。當在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。例如：小波分析是純數(shù)學、應用數(shù)學和工程技術的完美結合。從數(shù)學來說是大半個世紀“調和分析”的結晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破，預示著小波分析進一步熱潮的到來?！靶〔ǚ治觥笔欠治鲈夹盘柛鞣N變化的特性，進一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號：是高音還是低音，發(fā)聲時間長短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基

3、函數(shù)”對“原始信號”進行分解。小波的時間和頻率特性運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。時間A時間B參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅

4、里葉變換只具有頻率分析的性質）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：小波基表示發(fā)生的時間和頻率“時頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時間采樣基（下）的比較傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基信號的時頻分析：信號時頻分析的重要性：時間和頻率是描述信號的兩個最重要的物理量。信號的時域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。信號時頻分析的主要方法：反

5、映傅立葉變換缺點的一個例子：傅立葉變換的缺點：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。解決傅立葉變換缺點的方法：窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設f(t)?L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(?,b)給出的是f(t)在局部時間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對信號的時間定位能

6、力越強。窗口傅立葉變換的頻域性質：問題的提出：窗口傅立葉變換WFg(?,b)=給出的是信號在時域上的處理信息，一個很自然的問題是窗口傅立葉變換在頻域上是怎樣處理信號的？假設f(t)的傅立葉變換為F(?)，g?,b(t)的傅立葉變換為G?,b(?)，則根據(jù)Parseval定理有：WFg(?,b)=/(2?)窗口傅立葉變換頻域上的物理意義：若G(?)的有效窗口寬度為D?，則WFg(?,b)給出的是F(?)在局部頻率范圍[?-D?/2,?+D?/2]內的頻譜信息。有效窗口寬度D?越小，對信號的頻

7、率定位能力越強。窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換是否既具有強的時間定位能力，又具有強的頻率定位能力？選擇什么樣的窗函數(shù)才能使得窗口傅立葉變換具有好的性能？解決問題的思想：從物理意義上來看Dt和D?是矛盾的，因此先定義Dt和D?后，再計算Dt和D?的乘積用以作為判斷窗口傅立葉變換性能的依據(jù)。窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：假設：定義：窗口傅立葉變換的性能分析：計算Dt2×D?2：海森堡測不準原理窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結論：窗口傅立葉變換的時間分辨率和頻率分辨率不可能同時提高，只能以一種分辨率的降低來換

8、取另一種分辨率的提高。以高斯函數(shù)作為窗函數(shù)相對來說綜合效果最好。解決窗口傅立葉變換缺點的方法：問題的提出：窗口傅立葉變換窗口沒有自適應性，只適合分析所