高考數(shù)學(xué)解題思想方法 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法

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1、四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)

2、題的突破口。我們?cè)趹?yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”。數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀(guān)上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向

3、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到

4、有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較直觀(guān)的問(wèn)題，以便準(zhǔn)確把握問(wèn)題的求解過(guò)程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f(7.5)等于_____。A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.設(shè)f(x)＝3x－2，則f[f(x)]等于______。A.B.9x－8C.xD.3.若m、n、p、q∈R

5、且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最大值是______。A.B.C.D.4.如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足

6、z＋ｉ

7、＋

8、z－ｉ

9、＝2，那么

10、z＋ｉ＋1

11、的最小值為_(kāi)_____。A.1B.C.2D.5.設(shè)橢圓＋＝1（a>b>0）的半焦距為c，直線(xiàn)l過(guò)(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_(kāi)____。A.B.C.D.6.已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，則四棱錐S-BCED的體積為_(kāi)____。A.B.10C.D.【簡(jiǎn)解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,

12、所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，選B；2小題：設(shè)f(x)＝y(tǒng)，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選A；4小題：由復(fù)數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A；5小題：ab＝×，變形為12e－31e＋7＝0，再解出e，選B；6小題：由S＝S和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。Ⅱ、示范性題組：例1.若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)(－1)(－1)的最小值?！痉治觥坑梢阎獂＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求

13、式進(jìn)行合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化。【解】(－1)(－1)(－1)＝（1－x）(1－y)(1－z)＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2.設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍?！痉治觥吭O(shè)k＝x＋y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問(wèn)題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。【

14、解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。設(shè)k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋