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《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)好題精選 數(shù)學(xué)歸納法 理》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、數(shù)學(xué)歸納法（理）題組一證明等式問題1.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，該命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，則有( )A．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題成立B．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題成立C．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題不成立D．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題不成立解析：因?yàn)楫?dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，該命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該命題也成立，所以當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，則一定有n＝4時(shí)，該命題不成立．答案：C2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(
2、 )A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋解析：項(xiàng)數(shù)為n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上( )A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析：當(dāng)n＝k時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k
3、2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋，增加了2k＋1項(xiàng)．答案：D4．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·(n≥2，n∈N*)．證明：當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1，右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立．假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)，∴
4、當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n(n≥2，n∈N*)．題組二證明不等式問題5.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(k)滿足：當(dāng)“f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命題總成立的是( )A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k＜5，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，則當(dāng)k≥8，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4，均有f(k)≥k2成立
5、解析：由題意設(shè)f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”，因此，對(duì)于A，不一定有k＝1,2時(shí)成立.對(duì)于B、C顯然錯(cuò)誤．對(duì)于D，∵f(4)＝25＞42，因此對(duì)于任意的k≥4，有f(k)≥k2成立．答案：D6．對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．則上述證法( )A．過程全部正確
6、B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析：用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)．答案：D7．(·昆明模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝－，a＋(an＋1＋2)an＋2an＋1＋1＝0.求證：(1)－1＜an＜0；(2)a2n＞a2n－1對(duì)一切n∈N*都成立；(3)數(shù)列{a2n－1}為遞增數(shù)列．證明：已知條件可化為(an＋1＋an)(an＋2)＋1＝0，即an＋1＝－an－.(1)①當(dāng)n＝1時(shí)已成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即－1＜ak＜0，那么當(dāng)n＝k＋
7、1時(shí)，ak＋1＝－(ak＋2)－＋2.∵1＜ak＋2＜2，又y＝t＋在t∈(1,2)內(nèi)為增函數(shù)，∴ak＋2＋∈(2，)，∴ak＋1∈(－，0)，則－1＜ak＋1＜0，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．由①②知，對(duì)一切n∈N*均有－1＜an＜0.(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝－＞a1＝－成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N)時(shí)結(jié)論成立，即a2k＞a2k－1，∴1＜a2k－1＋2＜a2k＋2＜2，∴a2k－1＋2＋＜a2k＋2＋，∴－a2k－1－＞－a2k－，即a2k＞a2k＋1.同上法可得a2k＋2＞a2k＋1，
8、∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．由①②知對(duì)一切n∈N*均有a2n＞a2n－1成立．(3)an＋1＋an＝－，則an＋2＋an＋1＝－.兩式相減得an＋2－an＝－＝.若把上式中的n換成2n－1，則a2n＋1－a2n－1＝＞0，∴數(shù)列{a2n－1}為遞增數(shù)列．題組三證明幾何問題8.如圖，這是一個(gè)正六邊形的序列： …(1) (2) (3)則第n個(gè)圖形的邊數(shù)為________．解析：第(1)圖共6條邊，第(2)圖共11條邊，第(3)圖共16條邊，…，
