大學生數(shù)學競賽試題集

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1、大學生數(shù)學競賽培訓暑期作業(yè)極限與導數(shù)一、極限1、（第一屆預賽第二題，2009），其中是給定的正整數(shù)；2、（第二屆預賽第一（1）題，2010）設，其中，求；3、（第二屆預賽第一（2）題，2010）求；4、（第三屆預賽第一（1）題，2011）；5、（第三屆預賽第一（2）題，2011），求；6、（第四屆預賽第一（1）題，2012）求極限.二、導數(shù)1、（第二屆預賽第二題，2010）設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，并且，，且存在一點，使得.證明：方程在恰有兩個實根.2、（第三屆預賽第三題，2011）設函數(shù)在上具有連續(xù)的三階導數(shù)，且.求證：在內至少存在一點，使得.3、（第四屆預賽第四題，2012）設函數(shù)二階可

2、導，且，求，其中是曲線上點處的切線在軸上的截距.提示與答案：一、極限1、用第二個重要極限，；2、；3、用的麥克勞林展開，；4、拆成兩個極限，；335、乘以，；6、夾逼原理，.二、導數(shù)1、（證存在性時）凹函數(shù)的性質，零點定理，（證恰有兩個時）反證法.2、麥克勞林公式，最值定理，介值定理.3、等價無窮小替換，麥克勞林展開.不定積分不定積分是導數(shù)（微分）的逆運算，但實踐已經(jīng)證明，前者的難度遠遠超過后者。原因是：（1）沒有適用于一切初等函數(shù)的求不定積分的方法；（2）許多初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，如（為正整數(shù)），還有等。我們有計算不定積分的兩種基本方法（不是萬能的）——換元法和分部積分法，對一些

3、特定類型的積分有專用的方法（可參見本期金本清專欄），這樣的方法程式化，但可能不是最簡單的。解決不定積分的基本思路是化繁為簡，最終歸結為基本公式，所以積分基本公式必須熟記。出現(xiàn)高數(shù)數(shù)學競賽中的不定積分不僅需要上述兩種基本方法，大部分還需要一些技巧，我們平時對這些技巧不太熟練。但參加競賽就應該掌握下面的不定積分的計算：一、考察不定積分的概念與性質1、設，求；2、設，求；3、已知，試求函數(shù).二、利用基本積分法求不定積分1、利用湊微分法（第一換元法）求不定積分(1)（2）（3）（4）（5）（6）（7）2、利用第二換元積分法求不定積分(1)三角代換求下列積分①②③(2)倒代換（即令）求下列積分①②③

4、333、指數(shù)代換（令則）（1）（2）4、利用分部積分法求不定積分（1）（2）（3）（4）（5）5、建立下列不定積分的遞推公式（1）（2）三、有理函數(shù)的積分1、求下列不定積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、簡單無理函數(shù)積分1、2、五、三角有理式積分1、2、3、4、5、6、六、含有反三角函數(shù)的不定積分1、2、七、抽象函數(shù)的不定積分1、2、八、分段函數(shù)的不定積分1、設求.2、定積分比較定積分大小1、比較定積分和的大小331、比較定積分和的大小利用積分估值定理解題一、估值問題1、試估計定積分的值；2、試估計定積分的值二、不等式證明1、證明不等式：；2、證明不等式：三、求極限1、2、關于積分

5、上限函數(shù)及牛頓-萊布尼茲公式問題1、求下列導數(shù)：（1）；（2）由方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)2、設在上連續(xù)且滿足，求3、設為關于的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程，求及常數(shù).4、求下列極限：（1）（2）5、設是連續(xù)函數(shù)，且，求.6、已知且，求及定積分的計算一、分段函數(shù)的定積分1、設求；2、求定積分二、被積函數(shù)帶有絕對值符號的積分1、求下列定積分：（1）（2）2、求定積分的值三、對稱區(qū)間上的積分331、設在上連續(xù)，計算2、設在上連續(xù)，且對任何有，計算3、計算積分4、設在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)）.（1）證明：(2)利用（1）的結論計算定積分四、換元積分法1、求下列定積分：（1）（2）（3）五、

6、分部積分1、設有一個原函數(shù)為，求2、3、積分等式的證明一、換元法（適用于被積函數(shù)或其主要部分僅給出連續(xù)條件）1、若函數(shù)連續(xù)，證明：（1）（2）（3）2、設連續(xù)，求證，并計算3、設連續(xù)，且關于對稱，，z證明：（提示：關于對稱，即）二、分部積分法（適用于被積函數(shù)中含有或變上限積分的命題）例：設連續(xù)，，證明：三、構造輔助函數(shù)法（適用于證明在積分限中至少存在一點或使等式成立的命題）解題思路：（1）將或改成，移項使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數(shù)或。33（2）驗證滿足介值定理或微分中值定理的條件。（3）由介值定理或微分中值定理，即可證得命題。1、設在上連續(xù)，證明：至少存在一點，使得：2、設在

7、上連續(xù)，在內可導，.求證：在內至少存在一點使四、積分不等式的證明常用的證明積分不等式的定理有：定積分的比較定理，估值定理，函數(shù)的單調性，積分與微分中值定理。1、設在上連續(xù)，且嚴格遞增，證明：2、設在上連續(xù)且單調減少，，求證：3、設在上可導，且.證明：廣義積分1、求下列廣義積分（1）（2）（3）（4）2、證明：無窮積分當時收斂，當時發(fā)散.3、當時，是以為瑕點的瑕積分，證明它在時收斂，在時發(fā)散.多元微分學1．設函數(shù)，求分析本