學(xué)好概念才能學(xué)好數(shù)學(xué)——以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為例

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1、發(fā)表于《數(shù)學(xué)通訊》2014年第10期學(xué)好概念才能學(xué)好數(shù)學(xué)——以“函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”為例李素波山西省陽泉市平定一中045200學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求,概念學(xué)不好，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)就失去了根基.李邦河院士指出，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”因此，作為學(xué)生必須重視數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).而函數(shù)概念又是高中數(shù)學(xué)中的重中之重，尤其是三要素之一的對(duì)應(yīng)關(guān)系不易理解.一問題提出在我校組織的一次觀摩課上，教師在課上講到如何判斷兩個(gè)函數(shù)相等.在互動(dòng)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生甲講解了課本例題：引例下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等？(1);(2);(3);(4).為便于討論，下面給出學(xué)生甲對(duì)(

2、1),(2)兩個(gè)問題的解析學(xué)生甲剖析：學(xué)生甲首先指出教材中判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)，指的是它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同.而后分析了課本例題：(1)，這個(gè)函數(shù)與函數(shù)雖然解析式相同，但是定義域不相同.所以，這個(gè)函數(shù)與函數(shù)不相等.(2),這個(gè)函數(shù)與函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，但是當(dāng)時(shí)，它的解析式與函數(shù)不相同.所以，這個(gè)函數(shù)與函數(shù)不相等.該教學(xué)片斷給筆者留下印象最深的是，學(xué)生甲多次強(qiáng)調(diào)“函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系即為函數(shù)解析式”，從上文教師例題的過程中也可以證實(shí)這一點(diǎn).然而在場(chǎng)的所有學(xué)生卻均未提出異議，可以看出，有此認(rèn)識(shí)的學(xué)生應(yīng)不在少數(shù).4筆者卻認(rèn)為這一觀點(diǎn)還有待商榷.那么究竟什么是對(duì)應(yīng)關(guān)系？

3、又何為對(duì)應(yīng)關(guān)系相同呢？二舉證反駁有很大一部分學(xué)生不自覺地將對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)解析式等同起來.正如在引例的解析中，將兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同認(rèn)為是指兩函數(shù)的解析式相同，在這里包括將解析式化簡(jiǎn)后相同.真是這樣嗎？那么請(qǐng)看這個(gè)例子：函數(shù)和這兩個(gè)函數(shù)相等嗎？顯而易見，這兩個(gè)函數(shù)有相同的定義域，那么問題的關(guān)鍵就在于兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.但在這里若將對(duì)應(yīng)關(guān)系視為解析式，那么結(jié)論就是這兩個(gè)函數(shù)不相等.然而換另一個(gè)角度考慮，在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像卻是完全相同的.毋庸置疑，兩個(gè)圖像完全相同的函數(shù)一定是相等的.由此例可知，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系并不完全等同于函數(shù)解析式.那么對(duì)應(yīng)關(guān)系該怎么理

4、解呢？更何況，并非每個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示，尤其是在實(shí)際問題中，函數(shù)多用列表法和圖像法表示，這其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系又該如何看待？請(qǐng)?jiān)倏聪旅娴睦酉卤頌槟程煲粫円箿囟茸兓闆r時(shí)刻0:004:008:0012:0016:0020:0024:00溫度/(℃)-2-5498.53.5-1實(shí)際上，在本例中，溫度就是時(shí)刻的一個(gè)函數(shù)，那么此時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系又指什么？對(duì)于由圖像法表示的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系又如何體現(xiàn)呢？三概念解讀對(duì)應(yīng)關(guān)系，在一些教材上也稱為對(duì)應(yīng)法則，通常被理解為施加在自變量上的運(yùn)算關(guān)系.比如：在函數(shù)中，對(duì)應(yīng)關(guān)系可敘述為“乘2再加1”.在其它的函數(shù)中，對(duì)應(yīng)關(guān)系還可以是“取倒數(shù)”、“求平方”

5、、“取不超過的最大整數(shù)”等等.然而這僅僅是一個(gè)層面的理解.仍以“函數(shù)和這兩個(gè)函數(shù)相等嗎？”為例來說，前者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為取的倒數(shù)，而后者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為求的立方.在本例中，極易理解為兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，而這與兩個(gè)函數(shù)相等的事實(shí)是矛盾的.可見這種用文字?jǐn)⑹龅淖饔迷谧宰兞可系倪\(yùn)算規(guī)則還不是對(duì)應(yīng)關(guān)系的真意所在.4在函數(shù)中，筆者認(rèn)為若將對(duì)應(yīng)關(guān)系敘述為更能揭示本質(zhì)，即將實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)到實(shí)數(shù).具體體現(xiàn)為如圖1所示的箭頭圖：又如在函數(shù)中，對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，即使任意實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)1.而在“某天一晝夜溫度隨時(shí)刻變化情況”的例子中，對(duì)應(yīng)關(guān)系可用如圖2所示的箭頭圖表示：其實(shí)，用列表法表示的函數(shù)較解析法更加直觀，不必

6、通過計(jì)算就能知道兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在如上的箭頭圖中，實(shí)際上已經(jīng)內(nèi)隱了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在用圖像法表示的函數(shù)中，對(duì)自變量的某一取值，過軸這一點(diǎn)作軸的垂線與的圖像交于點(diǎn)A，然后過點(diǎn)A作y軸的垂線，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)值y(如圖3).這樣就找到了圖像法中函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在日常生活以及生產(chǎn)實(shí)踐中，大多函數(shù)都不能用解析法表示，在列表和圖像中各變量大多已經(jīng)“天然地”建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系.用德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊的觀點(diǎn)：“怎樣去建立與之間的關(guān)系無關(guān)緊要，只要對(duì)于的每一個(gè)值，總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，這就是對(duì)應(yīng)關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)和有著異曲同工之妙，兩者的函數(shù)解析式雖然不同，然而對(duì)應(yīng)效果卻

7、是一樣的，均為，.因此，筆者認(rèn)為兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的本質(zhì)是指對(duì)自變量的同一個(gè)取值，都有相同的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).換句話說，對(duì)于函數(shù)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，那么就可以稱這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系和是相同的.4同樣的例子不勝枚舉，再比如：函數(shù)和；和；和，這里每組的兩個(gè)函數(shù)都是相等的.所以，更深一層理解，對(duì)應(yīng)關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是對(duì)應(yīng)結(jié)果，或者說對(duì)應(yīng)效果，即使解析式不同，也有可能達(dá)到同樣的對(duì)應(yīng)效果.之所以許多學(xué)生會(huì)形成這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，筆者分析這跟高中階段主要研究的是連續(xù)函數(shù)有關(guān).而對(duì)于兩個(gè)連續(xù)函數(shù)而言，它們相等，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和解析式完全相同，相同的解析式必