二階常微分方程解

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1、第七節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法在上節(jié)我們已經(jīng)討論了二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性微分方程的求解問題，關(guān)鍵在于如何求二階齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解。本節(jié)討論二階線性方程的一個(gè)特殊類型，即二階常系數(shù)線性微分方程及其求解方法。先討論二階常系數(shù)線性齊次方程的求解方法。§7.1二階常系數(shù)線性齊次方程及其求解方法設(shè)給定一常系數(shù)二階線性齊次方程為＋p＋qy＝0(7.1)其中p、q是常數(shù)，由上節(jié)定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意兩個(gè)線性無關(guān)的特解y1,y２就可以了，下面討論這樣兩個(gè)特解的求法。我們先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，從方程的形式上來看，

2、它的特點(diǎn)是，，y各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個(gè)函數(shù)y，其，，y之間只相差一個(gè)常數(shù)因子，這樣的函數(shù)有可能是方程(7.1)的特解，在初等函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)erx，符合上述要求，于是我們令y＝erx(其中r為待定常數(shù))來試解將y＝erx，＝rerx，＝r2erx代入方程(7.1)得r2erx＋prerx＋qerx＝0或erx（r2＋pr＋q）＝0因?yàn)閑rx≠0，故得r2＋pr＋q＝0由此可見，若r是二次方程r2＋pr＋q＝0(7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解問題，就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程(7.2)的根問題。稱(7.2)式為微分方程

3、(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一個(gè)以r為未知函數(shù)的一元二次代數(shù)方程。特征方程的兩個(gè)根r１，r2，稱為特征根，由代數(shù)知識(shí)，特征根r1，r2有三種可能的情況，下面我們分別進(jìn)行討論。(1)若特證方程(7.2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r１，r2，此時(shí)er１x，er2x是方程(7.1)的兩個(gè)特解。因?yàn)椋絜≠常數(shù)所以er1x，er2x為線性無關(guān)函數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)定理知，方程(7.1)的通解為y＝C1er1x＋C2er2x(2)若特征方程(7.2)有兩個(gè)相等的實(shí)根r1＝r2，此時(shí)p2－4q＝0，即有r1＝r2＝，這樣只能得到方程(7.1)的一個(gè)特解y１＝er１x，因此，我們還要設(shè)法找出另

4、一個(gè)滿足≠常數(shù)，的特解y2，故應(yīng)是x的某個(gè)函數(shù)，設(shè)＝u，其中u＝u(x)為待定函數(shù)，即y2＝uy1＝uer１x對(duì)y2求一階，二階導(dǎo)數(shù)得＝er1x＋r１uer1x＝(＋r1u)er1x＝(r2１u＋2r1＋)er1x將它們代入方程(7.1)得(r21u＋２r1＋)er1x＋p(＋r1u)er1x＋quer1x＝0或［＋(2r1＋p)＋(r２１＋pr1＋q)u］er1x＝0因?yàn)閑r1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q＝0，又因r1＝－故有2r1＋p＝0，于是上式成為＝0顯然滿足＝0的函數(shù)很多，我們?nèi)∑渲凶詈唵蔚囊粋€(gè)u(x)＝x則y2＝xerx

5、是方程(7.1)的另一個(gè)特解，且y1，y2是兩個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，所以方程(7.1)的通解是y＝C1er1x＋C2xer1x＝(C1＋C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一對(duì)共軛復(fù)根r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ此時(shí)方程(7.1)有兩個(gè)特解y1＝e(α＋iβ)xy2＝e（α－iβ）x則通解為y＝C1e（α＋iβ）x＋C2e（α－iβ）x其中C1，C2為任意常數(shù)，但是這種復(fù)數(shù)形式的解，在應(yīng)用上不方便。在實(shí)際問題中，常常需要實(shí)數(shù)形式的通解，為此利用歐拉公式eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx有(eix＋e－ix)＝cosx(eix－e－i

6、x)＝sinx(y1＋y２)＝eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxcosβx(y1－y2)＝eαx(eiβx－e－iβx)＝eαxsinβx由上節(jié)定理一知，(y1＋y2)，(y1－y2)是方程(7.1)的兩個(gè)特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程(7.1)的兩個(gè)特解：且它們線性無關(guān)，由上節(jié)定理二知，方程(7.1)的通解為y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx或y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)其中C1，C2為任意常數(shù)，至此我們已找到了實(shí)數(shù)形式的通解，其中α，β分別是特征方程(7.2)復(fù)數(shù)根的實(shí)部和虛部。綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程(7.

7、1)的通解，只須先求出其特征方程(7.2)的根，再根據(jù)他的三種情況確定其通解，現(xiàn)列表如下特征方程r2＋pr＋q＝0的根微分方程＋p＋qy＝0的通解有二個(gè)不相等的實(shí)根r1，r2y＝C1er1x＋C2er2x有二重根r1＝r2y＝(C1＋C2x)er1x有一對(duì)共軛復(fù)根y＝eαx(C1cosβx＋C2sinβx)例1.求下列二階常系數(shù)線性齊次方程的通解(1)＋3－１０y＝0(2)－4＋4y＝0(3)＋4＋7y＝0解(