漸開線與擺線 課件(人教a選修4-4)

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1、[讀教材·填要點(diǎn)]1．漸開線的概念及產(chǎn)生過程把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的．2．?dāng)[線的概念及產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)的軌跡，圓的擺線又叫．漸開線基圓定點(diǎn)旋輪線[小問題·大思維]1．漸開線方程中，字母r和參數(shù)φ的幾何意義是什么？提示：字母r是指基圓的半徑，參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角．2．?dāng)[線的參數(shù)方程中，字母r和參數(shù)φ的幾何意義是什么？提示：

2、字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開的角度大?。甗悟一法]解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)漸開線的形成過程，將問題歸結(jié)到用向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系上．用向量方法建立運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的參數(shù)方程的過程和步驟：(1)建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)軌跡曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x，y)．(2)取定運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的某一角度為參數(shù)．(3)用三角、幾何知識(shí)寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)表達(dá)式．(4)用向量運(yùn)算得到的坐標(biāo)表達(dá)式，由此得到軌跡曲線的參數(shù)方程．[研一題][例2]求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程．(如圖所示，開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取

3、圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過的角度α，(以弧度為單位)為參數(shù))[精講詳析]本題考查圓的擺線的參數(shù)方程的求法．解答本題需要搞清圓的擺線的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可．當(dāng)圓滾過α角時(shí)，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如圖所示，∠ABM＝α.[悟一法](1)圓的擺線的實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡．(2)在圓的擺線中，圓周上定點(diǎn)M的位置也可以由圓心角φ唯一確定．[通一類]2．圓的半徑為r，沿x軸正向滾動(dòng)，圓與x軸相切于原點(diǎn)O.圓上點(diǎn)M起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn)φ角．試求點(diǎn)M的軌跡方程．[研一

4、題][例3]設(shè)圓的半徑為8，沿x軸正向滾動(dòng)，開始時(shí)圓與x軸相切于原點(diǎn)O，記圓上動(dòng)點(diǎn)為M，它隨圓的滾動(dòng)而改變位置，寫出圓滾動(dòng)一周時(shí)M點(diǎn)的軌跡方程，畫出相應(yīng)曲線，求此曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的最大值，說明該曲線的對(duì)稱軸．[精講詳析]本題考查擺線的參數(shù)方程的求法及應(yīng)用．解答本題需要先分析題意，搞清M點(diǎn)的軌跡的形狀，然后借助圖象求得最值．[悟一法]擺線的參數(shù)方程是三角函數(shù)的形式，可考慮其性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)有類似的地方．點(diǎn)擊進(jìn)入創(chuàng)新演練大沖關(guān)