拆開的魔方的復(fù)原

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1、拆開魔方的復(fù)原本論文屬于:數(shù)學(xué)的運動群，魔方理論，解題方法。關(guān)鍵詞：魔方，運動群，解題方法。作者：程士浚（原鐵道部貴陽車輛工廠設(shè)備處）魔方不但是一個老少皆宜的智力玩具，而且它和數(shù)學(xué)、高分子化學(xué)、計算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)系。在玩魔方的時候,有時掉下幾塊,如隨隨便便地把它裝上,那么魔方就很可能不能復(fù)原了?；蛘哒f，一個拆開的魔方的復(fù)原是不一定能實現(xiàn)的。下面要確定一個拆開后隨意組裝的魔方不通過試轉(zhuǎn)就想知道它是否能復(fù)原的方法。先看看同一類“塊”的運動規(guī)略。我們把魔方的“塊”分為“中心塊”、“角塊”、“邊塊”三種

2、。先看看邊快到原位的運動。一個打亂的魔方有的邊塊還在原來的位置，有的不在原來的位置。在原位的塊，有的顏色對，有的顏色不對。我們把顏色對的叫做方向?qū)?，顏色不對的叫方向不對。在原位的邊塊方向?qū)Φ慕凶鰤K序數(shù)為偶數(shù)。方向不對的為奇數(shù)。魔方的邊塊的運動可以用圖表示，如圖一。圖一中有六個獨立的四邊形，它們分別由支路（1、2、3、4），（5、6、7、8），（9、10、11、12），（13，14，15，16），(17,18,19,20),(21,22,23,24,)組成。一個邊塊運動前在原位，運動后回到原位，把這叫

3、做邊塊回到原位的運動。圖一邊塊在回到原位的運動中的步數(shù)（邊塊轉(zhuǎn)動一個90°為一步）為偶數(shù)，則方向和運動前相同。為奇數(shù)則方向不同。例如△1位邊塊經(jīng)過支路1，2，3，4回到原位步數(shù)為4，是偶數(shù)，方向和原來相同，經(jīng)過支路1，13，21回到原位的步數(shù)為3，是奇數(shù)，方向和原來不同。到此可以進(jìn)一步確立如下概念。邊塊回到原位的步數(shù)為偶數(shù)的，回到原位后方向?qū)Φ?，該塊的塊序數(shù)為偶數(shù)，反之回到原位后方向不對的塊序數(shù)為奇數(shù)。這是合乎奇偶數(shù)加法性質(zhì)的。用a表示偶數(shù)，b表示奇數(shù)則有a+a=aa+b=bb+a=bb+b=a一個

4、打亂而且裝亂的魔方（但還是這幾塊）是否一定能復(fù)原？大家知道這是不一定能復(fù)原的。邊塊要想復(fù)原的條件如下。全部邊塊塊序數(shù)的總和為偶數(shù)的能復(fù)原。為奇數(shù)的不能復(fù)原。因為每層轉(zhuǎn)動一步是四個邊塊各走一步，總步數(shù)為四，是偶數(shù)，所以不管怎樣轉(zhuǎn)總步數(shù)是偶數(shù)。所以各邊塊都在原位，但裝時方向反了兩塊的能復(fù)原?；蛘f方向反了偶數(shù)塊的能復(fù)原，方向反了奇數(shù)塊的不能復(fù)原。所以如各邊塊方向?qū)?，但互為裝錯的（裝錯的塊數(shù)為奇數(shù)的，可以再在這幾塊中找兩塊互換位置，成為裝錯奇數(shù)塊）能復(fù)原。但請注意，這里沒有講到是否要影響到角塊能否復(fù)原。通過

5、實踐我們也可以發(fā)現(xiàn)，有時雖然全部邊塊的序數(shù)的總和為偶數(shù)，但全部邊塊復(fù)原后卻使原已復(fù)原的角塊不能復(fù)原了。這是什么道理呢？為了說明問題使魔方不作整體滾動。角塊和邊塊分別編號，角塊用阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3…。邊塊用小寫數(shù)字一、二、三…，如圖所示。圖二復(fù)原魔方的1#角塊在(1)位上，２＃角塊在（２）位上……，用數(shù)列１、２、３、４、５、６、７、８表示。當(dāng)右層轉(zhuǎn)動９０°后，１＃塊到（５）位，５＃塊到（６）位……。用數(shù)列２、6、３、４、１、５、７、８表示，這可以說是經(jīng)過三次對換實現(xiàn)的。先對換１和５。１２３４５６７８

6、變?yōu)椋担玻常矗保叮罚?。再對換５和６，變?yōu)椋叮玻常矗保担罚?，再對換２和６，變?yōu)椋玻叮常矗保担罚浮８鶕?jù)高等代數(shù)排列奇偶性的定理，可知對換改變排列的奇偶性。因為每層轉(zhuǎn)９０°相當(dāng)于三次對換，所以每層轉(zhuǎn)９０°也改變排列的奇偶性。因為每層都有角塊和邊塊。一個復(fù)原的魔方角塊和邊塊的排列開始都是偶排列。經(jīng)過某層轉(zhuǎn)動后角塊的排列和邊塊的排列仍具有相同的奇偶性。（中間層的轉(zhuǎn)動相當(dāng)于兩側(cè)層的反方向轉(zhuǎn)動）。不可能出現(xiàn)一個是偶排列，另一個是奇排列。所以有如下特性：當(dāng)一個打亂而且裝亂的魔方，如果角塊的排列和邊塊的排列不是具有相

7、同的奇偶性就不可能復(fù)原。這就回答了上面為什么全部邊塊復(fù)原了而角塊不能復(fù)原的問題。最后要解決的是角塊的復(fù)原。角塊的到位問題上面已經(jīng)解決了。只剩下角塊的方向問題。一個角塊有三個面，也就是有三個方向。規(guī)定一：把復(fù)原魔方的上面和下面作為八個角塊的基準(zhǔn)面和魔方的基準(zhǔn)面。規(guī)定二：角塊的基準(zhǔn)面和魔方的基準(zhǔn)面重合，該角塊的方向數(shù)為0。角塊的基準(zhǔn)面順時針轉(zhuǎn)一下就到魔方基準(zhǔn)面的，該塊的方向數(shù)為二。角塊的基準(zhǔn)面逆時針轉(zhuǎn)一下到魔方基準(zhǔn)面的，方向數(shù)為１。當(dāng)復(fù)原魔方轉(zhuǎn)動右+（右邊一層逆時針轉(zhuǎn)90°）1#塊轉(zhuǎn)到（2）位，1#塊的

8、方向數(shù)為2，2#塊轉(zhuǎn)到（6）位，2#塊的方向數(shù)為1.6#塊轉(zhuǎn)到（5）位6#塊的方向數(shù)為2.5#塊轉(zhuǎn)到（1）位，5#塊的方向數(shù)為1。根據(jù)上面的規(guī)定可以得出魔方上下兩層轉(zhuǎn)動不改變角塊的總方向數(shù)。魔方其他各層的轉(zhuǎn)動使角塊總方向數(shù)以6的倍數(shù)增加。魔方轉(zhuǎn)動右+后再轉(zhuǎn)右-（右面一層順時針轉(zhuǎn)90°），1#塊的方向數(shù)結(jié)果為0.也可以說是2+1。所以角塊的方向數(shù)是3進(jìn)位數(shù)，只取末位數(shù)。即2+1=10，只取末位數(shù)0就可以了?！D三圖三表示角塊運動是其方向數(shù)變化的情況。（1）、(2)、(3