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1、拆開魔方的復原本論文屬于:數(shù)學的運動群，魔方理論，解題方法。關鍵詞：魔方，運動群，解題方法。作者：程士浚（原鐵道部貴陽車輛工廠設備處）魔方不但是一個老少皆宜的智力玩具，而且它和數(shù)學、高分子化學、計算機科學有著密切的關系。在玩魔方的時候,有時掉下幾塊,如隨隨便便地把它裝上,那么魔方就很可能不能復原了?；蛘哒f，一個拆開的魔方的復原是不一定能實現(xiàn)的。下面要確定一個拆開后隨意組裝的魔方不通過試轉就想知道它是否能復原的方法。先看看同一類“塊”的運動規(guī)略。我們把魔方的“塊”分為“中心塊”、“角塊”、“邊塊”三種
2、。先看看邊快到原位的運動。一個打亂的魔方有的邊塊還在原來的位置，有的不在原來的位置。在原位的塊，有的顏色對，有的顏色不對。我們把顏色對的叫做方向對，顏色不對的叫方向不對。在原位的邊塊方向對的叫做塊序數(shù)為偶數(shù)。方向不對的為奇數(shù)。魔方的邊塊的運動可以用圖表示，如圖一。圖一中有六個獨立的四邊形，它們分別由支路（1、2、3、4），（5、6、7、8），（9、10、11、12），（13，14，15，16），(17,18,19,20),(21,22,23,24,)組成。一個邊塊運動前在原位，運動后回到原位，把這叫
3、做邊塊回到原位的運動。圖一邊塊在回到原位的運動中的步數(shù)（邊塊轉動一個90°為一步）為偶數(shù)，則方向和運動前相同。為奇數(shù)則方向不同。例如△1位邊塊經過支路1，2，3，4回到原位步數(shù)為4，是偶數(shù)，方向和原來相同，經過支路1，13，21回到原位的步數(shù)為3，是奇數(shù)，方向和原來不同。到此可以進一步確立如下概念。邊塊回到原位的步數(shù)為偶數(shù)的，回到原位后方向對的，該塊的塊序數(shù)為偶數(shù)，反之回到原位后方向不對的塊序數(shù)為奇數(shù)。這是合乎奇偶數(shù)加法性質的。用a表示偶數(shù)，b表示奇數(shù)則有a+a=aa+b=bb+a=bb+b=a一個
4、打亂而且裝亂的魔方（但還是這幾塊）是否一定能復原？大家知道這是不一定能復原的。邊塊要想復原的條件如下。全部邊塊塊序數(shù)的總和為偶數(shù)的能復原。為奇數(shù)的不能復原。因為每層轉動一步是四個邊塊各走一步，總步數(shù)為四，是偶數(shù)，所以不管怎樣轉總步數(shù)是偶數(shù)。所以各邊塊都在原位，但裝時方向反了兩塊的能復原?；蛘f方向反了偶數(shù)塊的能復原，方向反了奇數(shù)塊的不能復原。所以如各邊塊方向對，但互為裝錯的（裝錯的塊數(shù)為奇數(shù)的，可以再在這幾塊中找兩塊互換位置，成為裝錯奇數(shù)塊）能復原。但請注意，這里沒有講到是否要影響到角塊能否復原。通過
5、實踐我們也可以發(fā)現(xiàn)，有時雖然全部邊塊的序數(shù)的總和為偶數(shù)，但全部邊塊復原后卻使原已復原的角塊不能復原了。這是什么道理呢？為了說明問題使魔方不作整體滾動。角塊和邊塊分別編號，角塊用阿拉伯數(shù)字1、2、3…。邊塊用小寫數(shù)字一、二、三…，如圖所示。圖二復原魔方的1#角塊在(1)位上，２＃角塊在（２）位上……，用數(shù)列１、２、３、４、５、６、７、８表示。當右層轉動９０°后，１＃塊到（５）位，５＃塊到（６）位……。用數(shù)列２、6、３、４、１、５、７、８表示，這可以說是經過三次對換實現(xiàn)的。先對換１和５。１２３４５６７８
6、變?yōu)椋担玻常矗保叮罚?。再對換５和６，變?yōu)椋叮玻常矗保担罚?，再對換２和６，變?yōu)椋玻叮常矗保担罚?。根據高等代?shù)排列奇偶性的定理，可知對換改變排列的奇偶性。因為每層轉９０°相當于三次對換，所以每層轉９０°也改變排列的奇偶性。因為每層都有角塊和邊塊。一個復原的魔方角塊和邊塊的排列開始都是偶排列。經過某層轉動后角塊的排列和邊塊的排列仍具有相同的奇偶性。（中間層的轉動相當于兩側層的反方向轉動）。不可能出現(xiàn)一個是偶排列，另一個是奇排列。所以有如下特性：當一個打亂而且裝亂的魔方，如果角塊的排列和邊塊的排列不是具有相
7、同的奇偶性就不可能復原。這就回答了上面為什么全部邊塊復原了而角塊不能復原的問題。最后要解決的是角塊的復原。角塊的到位問題上面已經解決了。只剩下角塊的方向問題。一個角塊有三個面，也就是有三個方向。規(guī)定一：把復原魔方的上面和下面作為八個角塊的基準面和魔方的基準面。規(guī)定二：角塊的基準面和魔方的基準面重合，該角塊的方向數(shù)為0。角塊的基準面順時針轉一下就到魔方基準面的，該塊的方向數(shù)為二。角塊的基準面逆時針轉一下到魔方基準面的，方向數(shù)為１。當復原魔方轉動右+（右邊一層逆時針轉90°）1#塊轉到（2）位，1#塊的
8、方向數(shù)為2，2#塊轉到（6）位，2#塊的方向數(shù)為1.6#塊轉到（5）位6#塊的方向數(shù)為2.5#塊轉到（1）位，5#塊的方向數(shù)為1。根據上面的規(guī)定可以得出魔方上下兩層轉動不改變角塊的總方向數(shù)。魔方其他各層的轉動使角塊總方向數(shù)以6的倍數(shù)增加。魔方轉動右+后再轉右-（右面一層順時針轉90°），1#塊的方向數(shù)結果為0.也可以說是2+1。所以角塊的方向數(shù)是3進位數(shù)，只取末位數(shù)。即2+1=10，只取末位數(shù)0就可以了?！D三圖三表示角塊運動是其方向數(shù)變化的情況。（1）、(2)、(3
