2[1].2估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)

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1、§2估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)問題：用不同的方法求出的同一參數(shù)的估計量可能不同，哪個估計量更好？怎樣衡量？2.1無偏估計引例：有一大批產(chǎn)品，廢品率為未知，現(xiàn)任取件產(chǎn)品進行檢驗，獲取子樣觀測值，構(gòu)造統(tǒng)計量來估計未知參數(shù).如果，則不利于產(chǎn)品賣方；如果，則不利于產(chǎn)品買方。事實上，的值隨每次抽樣結(jié)果而變，因此自然希望抽樣檢驗長期進行的話，在平均意義下能有一個不偏不倚的結(jié)果，即.——這就是估計量的無偏性要求。定義：設(shè)是未知參數(shù)的估計量，①若，則稱是的無偏估計(unbiasedestimator)，簡記為UE；②若，則稱是的有偏估計

2、(biasedestimator)；③若，則稱是的漸近無偏估計(asymptoticunbiasedestimator).例2.2.1是來自母體的一個子樣，證明：是的無偏估計，但子樣方差不是的無偏估計。證明：，故是的無偏估計；故不是的無偏估計，但由于故是的漸近無偏估計.為得的無偏估計，對進行修正（稱為糾偏），令：則.即是的無偏估計，此即修正樣本方差.例2.2.2設(shè)母體，則是的無偏估計.例2.2.3是來自母體的一個子樣，證明：是的無偏估計。證明：，故即：是的無偏估計。證畢.例2.2.4，①的矩估計量，②的最大似然

3、估計，它們是的無偏估計嗎？解：①，故是的無偏估計.②是來自母體的一個子樣，故（1）代入（1）式得：.不是的無偏估計，只是一個漸近無偏估計.說明：①對進行糾偏，令：，則，即為的無偏估計。②同一參數(shù)的無偏估計并不唯一?！绾卧龠M一步判別各無偏估計量的好壞？2.2優(yōu)效估計（1）有效性定義：設(shè)都是的無偏估計，若對于任意子樣容量n有，則稱比有效(efficiency)。例2.2.5在上例中，的兩個無偏估計與哪個更有效？解：其中，故更有效.例2.2.6是來自母體的一個子樣，未知，記，，證明：都是的無偏估計，其中最有效。證

4、明:故：都是的無偏估計，，即：中最有效。證畢（2）最小方差無偏估計定義：若的一切具有二階矩的無偏估計中，滿足：對的任意無偏估計，都有，則稱是的最小方差無偏估計(minimumvarianceunbiasedestimator)。用定義判定一個估計量是否最小方差無偏估計一般較難，下面討論無偏估計量的方差的下界。（3）羅-克拉美（R-C）不等式①對于連續(xù)母體情形，有定理：設(shè)是實數(shù)軸上的一個開區(qū)間，是母體的一個分布密度函數(shù)族，是來自母體的子樣，是未知參數(shù)的無偏估計，如果母體及滿足正則條件：(ⅰ)集合：與無關(guān)；(ⅱ)存

5、在,且對中的一切有：，及其中；(ⅲ)則有不等式此不等式稱為R-C不等式，稱為R-C下界.例如：指數(shù)分布的母體滿足條件(ⅰ)，而均勻分布的母體不滿足.②對于離散母體情形，類似條件下有其中.③有關(guān)計算中，有時用到如下等式：對連續(xù)型母體，對離散型母體，（4）優(yōu)效估計定義:①若的無偏估計的方差達到R-C下界,即，則稱是的優(yōu)效估計(optimalefficientestimator)；②若的無偏估計為,則稱為的(有)效率(efficiency),顯然，優(yōu)效估計的(有)效率為1）；③若的無偏估計滿足：,則稱是的漸近優(yōu)效估計

6、(asymptoticoptimalefficientestimator).例2.2.7,問是否為未知參數(shù)的優(yōu)效估計？解:①，故是的無偏估計.②③求R-C下界母體分布律為，故即：是的優(yōu)效估計.例2.2.8設(shè)母體的分布密度為,問是否為未知參數(shù)的優(yōu)效估計？解:①，故是的無偏估計.②.③求R-C下界即：是的優(yōu)效估計.例2.2.9,問是否分別為的優(yōu)效估計？解:（?。τ?，①，故是的無偏估計.②.③求R-C下界母體分布密度為，故（1）由（1）得：，故即：是的優(yōu)效估計.（ⅱ）對于①，故是的無偏估計.②，，.③求R-C下界由

7、（1）式知：（2）從而，故不是的優(yōu)效估計.但，故是的漸近優(yōu)效估計.注：①事實上可以證明，已經(jīng)是的最小方差無偏估計,這說明的優(yōu)效估計不存在.②在滿足正則條件的估計量族范圍內(nèi)，優(yōu)效估計是最小方差無偏估計.2.3相合估計事實上，與子樣容量有關(guān)，對于估計量的無偏性、有效性的討論都是在取定的情形下進行的。而當(dāng)時，形成一個隨機變量序列，自然希望依概率收斂于待估參數(shù)本身。（1）定義:若當(dāng)時,,則稱是的相合估計(consistentestimator，或稱為一致估計).這樣，充分大時（即對于大子樣），與充分接近幾乎是必然的，從

8、而可以用一次抽樣所得的去估計.（2）結(jié)論：①，分別是的相合估計.②也是的相合估計.證明:①Ch1§1已證:時，,故：，分別是的相合估計.②因為,數(shù)列，由依概率收斂的性質(zhì)知，故：也是的相合估計.常用估計量的優(yōu)良特性：無偏性漸進無偏性一致性(相合性)有效性優(yōu)效估計漸進優(yōu)效估計最小方差無偏估計√√母體是0-1分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布時√√母體是正態(tài)分布時母體是正態(tài)分布時√√