第一章 希爾伯特空間

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1、第一章希爾伯特空間§1矢量空間§1.1定義考慮無窮多個同類的數(shù)學對象的集合，如果它們之間滿足一定的運算要求，則其構成一個矢量空間一、矢量空間中矢量的運算▲加法運算集合中任意兩個矢量相加都能得到集合中的另一個矢量，即加法規(guī)則視不同對象可以不同。但一定要滿足下列四個條件1.交換律2.結合律3.單位元存在（O為零矢量）4.逆元存在并把記為▲數(shù)乘運算集合內任一矢量可以與數(shù)（實數(shù)或復數(shù)）相乘，得出集合內的另一矢量。（一般把數(shù)寫在矢量后面）數(shù)乘滿足下列四個條件1.單位元2.結合律3.第一分配律4.第二分配律▲內積運算兩個矢量可以

2、作內積得出一個數(shù)，記作在實數(shù)域（復數(shù)域）上的矢量，其內積是實數(shù)（復數(shù)）。內積與兩個因子的次序有關。內積規(guī)則要滿足下列四個條件1.復共軛2.分配律3.因子結合律4.自內積對任意，有。若我們把具有加法和數(shù)乘兩種運算并滿足各自條件的矢量集合稱為矢量空間或線性空間。具有加法、數(shù)乘和內積三種運算的空間稱為內積空間。▲內積空間的完全性如果對給定任意小的實數(shù),有數(shù)N存在。當時，有那么可以定義空間的完全性：空間中任意在Cauchy意義下收斂的序列的極限也必須在此空間中。這樣完全的內積空間是指在Cauchy意義下，內積空間中的序列的極

3、限也在內積空間中。完全的內積空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間。本章中，矢量空間通常指在復數(shù)域上的內積空間。二、矢量空間的簡單性質1.零矢量是唯一的[證明]設空間中有二零矢量O1，O2，則將第一式中，第二式中，則利用加法交換律，有所以零矢量是唯一的。2.每個矢量的逆元是唯一的[證明]設中有兩個逆元，則有這樣故逆元是唯一的。3.4.