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《第2章希爾伯特空間_84208441》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、第二章希爾伯特空間§2.1線性空間，內(nèi)積空間和希爾特空間2.1.1線性空間2.1.2內(nèi)積空間2.1.3希爾伯特空間§2.2內(nèi)積空間中的算子2.2.1算子與伴隨算子2.2.2自伴算子2.2.3線性代數(shù)方程組有解的擇一定理§2.3完備的正交規(guī)一函數(shù)集合2.3.1收斂的類別2.3.2函數(shù)集合的完備性2.3.3N維數(shù)域空間和希爾伯特函數(shù)空間§2.4魏爾斯特拉斯定理與多項(xiàng)式逼近2.4.1維爾斯特拉斯定理2.4.2多項(xiàng)式逼近習(xí)題附錄2A數(shù)e不是一個有理數(shù)的證明§2.1線性空間，內(nèi)積空間和希爾伯特空間2.1.1線性空間(1)距離空間
2、當(dāng)我們考慮一個集合中的兩個元素之間的關(guān)系時，最常見的是希望描述這兩個元素之間相互靠近的程度，或者是相互偏離的程度.例如，兩個數(shù)x和y的差的絕對值的大小，就是這種關(guān)系的一種描述.我們用“距離”這個概念來定義這種關(guān)系.定義1設(shè)X是一個非空集合，對于X中的任意兩個元素x和y，按照一定的法則定義一個非負(fù)實(shí)數(shù)ρ(,)xy，滿足下面三個條件，則稱ρ(,)xy是元素x和y之間的距離，X是按照ρ(,)xy做成一個距離空間或度量空間.X中的元素也稱為它的點(diǎn).(i)ρ(,)0xy≥，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，(非負(fù)性)；(ii)ρρρ(,
3、)xyx≤+(,)zy(,)z，(三角不等式)；(iii)ρρ(,)xyy=(,)x，(對稱性).以上三條稱為距離三公理.以下是常見的距離空間.例1實(shí)數(shù)空間R.對于R中的任意兩個實(shí)數(shù)x和y，定義ρ(,)
4、xyxy=?
5、為兩個實(shí)數(shù)x和y之間的距離，它符合距離三公理.由此，R是一個距離空間.復(fù)數(shù)空間Z按此定義距離之后，也是一個距離空間.例2令R是n維歐幾里得空間.它的點(diǎn)有形式(,,,)xxx"，對元素n12nx=(,,,)xx"x和y=(,,,)yy"y定義12n12nn21/2ρ(,)[(xy=?∑xyii)]i=1作為
6、距離.也可以定義nρ(,)xyx=?∑
7、iiy
8、i=1或者ρ(,)max
9、xyx=?y
10、iii作為距離.由此，n維歐氏空間是一個距離空間.例3以Cab[,]表示定義在區(qū)間[,]ab上連續(xù)函數(shù)的全體，對x(),()tytCab∈[,]，定義ρ(,)max
11、()()
12、xyx=?tytatb≤≤作為距離.由此，Cab[,]是一個距離空間．定義2若函數(shù)x()t在區(qū)間[,]ab上的積分bp∫xt()dt<∞,(p≥1)a即積分是有限的，則稱函數(shù)x()t在[,]ab上是p次可積的．[,]ab上的p次可積函數(shù)的全體構(gòu)成p次可積空間，
13、記為Labp[,],(≥1)．以后，當(dāng)我們說到p次可積p空間L時，我們總是默認(rèn)了p≥1.p(2)收斂和極限的概念有了距離的概念，就可以在距離空間X中引進(jìn)收斂和極限的概念.定義3令x,(1xn=∈,2,)"X，若當(dāng)n→∞時，數(shù)列ρ(,)0xx→，或者說，nn對于給定的ε>0，存在N>0，使得當(dāng)nN>時，ρ(,)xx<ε，就稱點(diǎn)列{}x按nn照距離ρ(,)xy收斂于x，記作limx=x(2.1.2)nn→∞或者xx→→()n∞.這時，稱{}x為收斂點(diǎn)列，x稱為點(diǎn)列{}x的極限.nnn由距離空間三公理及上述對極限的定義，易知
14、距離空間中收斂點(diǎn)列的極限是唯一的.收斂和極限是以距離來定義的，因此，以后在講到收斂和極限時，我們實(shí)質(zhì)上已經(jīng)定義了某種距離.任何一個收斂和極限是針對于我們已經(jīng)定義好了的距離而言的.距離ρ(,)xy是x,y的連續(xù)函數(shù)，即，若x→→xy,y，那么nn00ρρ(,)xyx→(,)y.證明如下.nn00由距離的三角形不等式，ρρρρ(,)(,)(,)(,)xyx≤++xxyyynnn000n0從而有ρρρρ(,)(,)(,)(,)xyx?≤+yxxyynn00n0n0當(dāng)n→∞時，x→→xy,y，ρρ(,)0,(,)0xx→→yy
15、，等式右邊的極限為nn00nn00零，因此結(jié)論得證.定義4設(shè){}x是距離空間X中的一個點(diǎn)列.如果任給ε>0，存在N>0，使n得當(dāng)自然數(shù)mnN,>時，ρ(,)xx<ε(2.1.3)mn則稱{}x是X中基本序列或者柯西序列.n距離空間X中的收斂點(diǎn)列一定是這個空間中的柯西序列.反過來，距離空間X中的柯西序列不一定是這個空間中的收斂點(diǎn)列.(3)空間的完備性定義5如果距離空間X中的柯西序列收斂于X中的點(diǎn)，則稱空間X是完備的距離空間，簡稱為完備的空間.否則，就稱空間X是不完備的.這是關(guān)于空間完備性的定義.除此之外，就沒有其它的空間
16、完備性的定義了.因此，以后提及空間的完備性，一定是指，可以在集合中定義距離而構(gòu)成距離空間，此距離空間是完備的.例5實(shí)數(shù)空間R在定義了距離ρ(,)
17、xyxy=?
18、之后，是完備的.例6我們把全體有理數(shù)的集合記為Y，對于Y中的任意兩個元素x和y，定義ρ(,)
19、xyxy=?
20、為兩個實(shí)數(shù)x和y之間的距離，它符合距離三公理.由此，Y是n1一個
