高等量子力學(xué)-第1章希爾伯特空間上課講義.ppt

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1、高等量子力學(xué)-第1章希爾伯特空間第一章希爾伯特空間第二章量子力學(xué)的理論結(jié)構(gòu)第三章狄拉克方程第四章對稱性理論第五章角動量理論第六章散射理論第七章二次量子化第八章輻射的量子理論第一章希爾伯特空間解決量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第二章量子力學(xué)的理論結(jié)構(gòu)用歸納量子力學(xué)的五個原理，建立量子力學(xué)的基本框架，使你能以一種更新的角度看到許多早已接觸的知識：表象，繪景，微擾等等，從而對量子力學(xué)的理解近一步加深了。量子力學(xué)的五個原理：原理1.描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)量是希爾伯特空間中的矢量，相差一個復(fù)數(shù)因子的兩個矢量，描寫同一狀態(tài)。原理2.(1)描寫微觀系統(tǒng)物

2、理量的是希爾伯特空間中的厄米算符；(2)物理量所能取的值，是相應(yīng)算符的本征值；(3)物理量A在狀態(tài)

3、y>中取各值ai的概率，與態(tài)矢量

4、y>按A的歸一化本征矢量{

5、ai>}的展開式中

6、ai>的系數(shù)的復(fù)平方成正比。量子力學(xué)的五個原理：原理3.微觀系統(tǒng)中每個粒子的直角坐標(biāo)下的位置算符Xi(i=1,2,3),與相應(yīng)的正則動量算符Pi有下列對易關(guān)系：原理4.微觀系統(tǒng)的狀態(tài)

7、y(t)>隨時間變化的規(guī)律是薛定諤方程量子力學(xué)的五個原理：原理5.描寫全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量，對于任意一對粒子的對調(diào)，是對稱的或反對稱的。服從前者的粒子成為玻色子，服從后者

8、的粒子稱為費米子。以五個基本原理為出發(fā)點，在五個基本原理之上建立量子力學(xué)的理論體系。第一章希爾伯特空間本章討論量子力學(xué)的主要數(shù)學(xué)工具——希爾伯特空間，即滿足一定要求的多維矢量空間。主要內(nèi)容：§1矢量空間§2算符§3本征矢量和本征值§4表象理論§5矢量空間的直和與直積§1矢量空間§1-1定義§1-2正交性和模§1-3基矢§1-4子空間§1-5右矢和左矢主要內(nèi)容：§1-1矢量空間的定義我們討論的對象是很廣泛的，可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)，可以是有序的一組數(shù)，可以是有方向的線段，也可以是一種抽象的東西。我們把這些通稱之為數(shù)學(xué)對象。同類的許多數(shù)學(xué)對

9、象滿足下面所述的一系列要求時，就構(gòu)成一個矢量空間；每一個對象稱為空間的一個元，或稱為矢量。加法規(guī)則視不同對象可以不同，但一定要滿足下列四個條件：α是實數(shù)時，空間稱為在實數(shù)域上的矢量空間；α是復(fù)數(shù)時，空間稱為在復(fù)數(shù)域上的矢量空間。數(shù)乘要滿足下列四個條件：在實數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上的矢量空間中的內(nèi)積，所得的也是實數(shù)（復(fù)數(shù)）。內(nèi)積與兩個因子的次序有關(guān)，內(nèi)積規(guī)則要滿足下列四個條件：在量子力學(xué)中所用到的空間，就是復(fù)數(shù)域上的希爾伯特空間。下面我們舉出矢量空間的一些簡單性質(zhì)。（1）在矢量空間中，零矢量是唯一的。（2）每個矢量的逆元是唯一的。下面，討論

10、幾個矢量空間的例子。值得注意的是在這個空間中，有的序列的極限超出這一空間之外。例如取以下序列：這個序列的每一項都在我們的空間中，但是當(dāng)?shù)臉O限是e=2.7182818…,這是一個無理數(shù)，不在有理數(shù)空間中。第一個例子取數(shù)學(xué)對象為所有正負有理數(shù)和零，規(guī)定加法即為算術(shù)中的加法；規(guī)定數(shù)乘中的數(shù)a也限于所有的有理數(shù)，數(shù)乘即是算術(shù)中的乘法；最后規(guī)定內(nèi)積為兩個因子的算術(shù)乘積。這是一個在有理數(shù)域上的矢量空間。因為有理數(shù)相加和相乘所得的都是有理數(shù)，這個空間是封閉的，即所得結(jié)果仍在空間之中。第二個例子取數(shù)學(xué)對象為三維位形空間中由一點引出的不同方向不同長

11、短的線段的全體，即理論力學(xué)中位置矢量全體。規(guī)定加法服從平行四邊形法則；數(shù)乘中的數(shù)是實數(shù)，以a數(shù)乘的結(jié)果是方向不變，長度乘以a；內(nèi)積是兩矢量的點乘積。這是一個實數(shù)域上的內(nèi)積空間。第三個例子取數(shù)學(xué)對象為一組有次序的復(fù)數(shù)，例如四個數(shù)，可以把它們寫成一個一列矩陣：加法，數(shù)乘和內(nèi)積的定義分別為這是一個復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。這樣的函數(shù)全體構(gòu)成一個內(nèi)積空間，平方可積的意思是§1-2正交性和模下面我們證明兩個與模有關(guān)的基本關(guān)系。Schwartz不等式：（1.1）證明：即三角形不等式：（1.2）于是得§1-3基矢線性無關(guān)(1.3)對于無窮個矢量的集合

12、，線性無關(guān)的定義可以推廣為：在無窮個矢量的集合中，若任意有限的子集合都是線性無關(guān)的，則整個集合就是線性無關(guān)的。只要有一組不全為零的復(fù)數(shù){ai}存在，使得成立，則這一組n個矢量為線性相關(guān)的。定理：在有限維空間內(nèi)各種不同的完全集中所含矢量的數(shù)目是相同的。證明（自己看）因此，每一個有限維矢量空間中各種不同完全集所含矢量的數(shù)目是相同的，這個數(shù)目稱為矢量空間的維數(shù)。2、基矢正交歸一的完全集稱為這個空間的一個基矢組，或一組基矢。當(dāng)然一個空間可有不同的多組基矢。，i,j=1,2,…,nSchmidt正交化方法：一個矢量空間，只要知道它的一個完全

13、集總可以找到一組基矢。（1.5）由此得而下面，我們給出一個關(guān)于基矢的重要定理。于是得這就是（2）。證明了（1）與（2）等價之后，下面按（2）、（3）、（4）、（2）的次序，分別證明前者是后者的充分條件，從而證明這四個命題是等價的。由（2）到（3）：