《組合數(shù)學(xué)》教案 1章 排列組合

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1、《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題1（1）基本題：1～9，14，16，19，22～23，29，31（2）加強(qiáng)題：11～12，17，18，21，28（3）提高題：13，15，20，24～26，30，32（4）關(guān)聯(lián)題：10，271-1在1到9999之間，有多少個每位上數(shù)字全不相同而且由奇數(shù)構(gòu)成的整數(shù)？（解）問題相當(dāng)于求在相異元素中不重復(fù)地取1個、2個、…、4個元素的所有排列數(shù)，答案為＝5＋20＋60＋120＝2051-2比5400小并具有下列性質(zhì)的正整數(shù)有多少個？（1）每位的數(shù)

2、字全不同；（2）每位數(shù)字不同且不出現(xiàn)數(shù)字2與7。（解）（1）分類統(tǒng)計：①一位正整數(shù)有個；②兩位正整數(shù)有＝81個；③三位正整數(shù)有＝9×9×8＝648個；④千位數(shù)小于5的四位數(shù)有＝4×9×8×7＝2016個；⑤千位數(shù)等于5，百位數(shù)小于4的數(shù)有＝4×8×7＝224個。由乘法法則，滿足條件的數(shù)的總個數(shù)為9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），總個數(shù)為＋＋＋＋＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3一教室有兩排，每排8個坐位，今有14名學(xué)生，問按下列不同的方式入座，各有多少種坐法？（1）規(guī)定

3、某5人總坐在前排，某4人總在后排，但每人具體坐位不指定；（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。（解）（1）5人在前排就座，其坐法數(shù)為，4人在后排就座，其坐法數(shù)為，還空7個坐位，讓剩下的個人入坐，就座方式為種，由乘法法則，就座方式總數(shù)為＝28449792000（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。可分成三種情況分別討論：①.前排恰好坐6人，入坐方式有種；②.前排恰好坐7人，入坐方式有種；③前排恰好坐8人，入坐方式有11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)種。各類入坐方式互相不同，由加法法則，總的入

4、坐方式總數(shù)為＋＋誤：先選6人坐前排，再選4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6個座位。故總的入坐方式共有種。但這樣計算無疑是有重復(fù)的，例如恰好選6人坐前排，其余8人全坐后排，那么上式中的就有重復(fù)。1-1一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排50個小時的工作時間，而且每天至少工作5小時，問共有多少種安排方案？（解）是重復(fù)組合問題。（1）每周按7天計算，先要拿出5×7＝35小時平均分配到每一天，再將其余的15小時安排到7天之中，每天的小時數(shù)不受限制，則安排方案數(shù)為（2）若每周的工作日按6天計，則問題變成在平均分配完5×6＝30小時后，

5、再將余下的20小時分配到這6天中，但此時每天最多只能分配19小時?；蛘吒话?，每天在5小時外再最多工作小時，那么，答案是多項式＝中的系數(shù)，其中。（3）另外，設(shè)每周工作t天，每天最少工作5小時，最多工作小時，可以不按照上邊的兩步分配方法求解，而是直接計算多項式＝，中的系數(shù)，即得答案。1-2若某兩人拒絕相鄰而坐，問12個人圍圓桌就坐有多少種方式？答11?。?×10！＝9×10！1-3有15名選手，其中5名只能打后衛(wèi)，8名只能打前鋒，2名能打前鋒或后衛(wèi)，今欲選出11人組成一支球隊，而且需要7人打前鋒，4人打后衛(wèi)，試問

6、有多少種選法？答11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)＝40＋2×(140＋80)＋(280＋80＋2×280)＝14001-1求展開式中項前的系數(shù)。答＝＝100801-2求的展開式。（解）由多項式的展開式公式＝＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋可以驗證，系數(shù)之和11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1×3＋4×6＋6×3＋12×3＝81＝1-1求展開式中的系數(shù)。答.＝＝8401-2試證任一正整數(shù)n可唯一地表成如下形式：n＝，0≤ai≤i，1-3證明n

7、C(n－1，r)＝（r＋1）C(n，r＋1)。并給出組合意義。意義：將n個人分為3組：一組1人，一組r人，另一組人。一種分法是先從n個人中選出r＋1人，剩下人為一組，再將所選的r＋1人分為兩組，一組1人，一組r人。另一種分法是先選一人為一組，再從其余的人中選人為一組，剩下的人為一組。1-4證明＝n2n－1。（證）用殊途同歸法。將n個不同的球放入標(biāo)號為A、B、C的3個盒子，其中要求A盒只放1個球，其余兩盒的球數(shù)不限。那么，有兩種思路：（1）先從此n個不同的球中選出1個，放入A盒，再將其余個球放入另外兩盒，有種放法

8、；（2）先由n個球中選出k個，再從所選的k個球中選出1個放入A盒，將其余的k－1個球放入B盒，所剩的n－k個球放入C盒，有種放法。當(dāng)，各種情況互不重復(fù)，且包含了所有放法，故對k求和，即得等式左端。1-5有n個不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第二組的最大數(shù)，問有多少種方案？（解）設(shè)取的第一組數(shù)有a個，第二組有b個，而要求第一組數(shù)中最小數(shù)大于第二組中最大的，即只要從n