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《《組合數(shù)學(xué)》教案 1章 排列組合》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題1(1)基本題:1~9,14,16,19,22~23,29,31(2)加強(qiáng)題:11~12,17,18,21,28(3)提高題:13,15,20,24~26,30,32(4)關(guān)聯(lián)題:10,271-1在1到9999之間,有多少個(gè)每位上數(shù)字全不相同而且由奇數(shù)構(gòu)成的整數(shù)?(解)問(wèn)題相當(dāng)于求在相異元素中不重復(fù)地取1個(gè)、2個(gè)、…、4個(gè)元素的所有排列數(shù),答案為=5+20+60+120=2051-2比5400小并具有下列性質(zhì)的正整數(shù)有多少個(gè)?(1)每位的數(shù)
2、字全不同;(2)每位數(shù)字不同且不出現(xiàn)數(shù)字2與7。(解)(1)分類統(tǒng)計(jì):①一位正整數(shù)有個(gè);②兩位正整數(shù)有=81個(gè);③三位正整數(shù)有=9×9×8=648個(gè);④千位數(shù)小于5的四位數(shù)有=4×9×8×7=2016個(gè);⑤千位數(shù)等于5,百位數(shù)小于4的數(shù)有=4×8×7=224個(gè)。由乘法法則,滿足條件的數(shù)的總個(gè)數(shù)為9+81+648+2016+224=2978(2)仿(1),總個(gè)數(shù)為++++=7+49+294+630+150=11301-3一教室有兩排,每排8個(gè)坐位,今有14名學(xué)生,問(wèn)按下列不同的方式入座,各有多少種坐法?(1)規(guī)定
3、某5人總坐在前排,某4人總在后排,但每人具體坐位不指定;(2)要求前排至少坐5人,后排至少坐4人。(解)(1)5人在前排就座,其坐法數(shù)為,4人在后排就座,其坐法數(shù)為,還空7個(gè)坐位,讓剩下的個(gè)人入坐,就座方式為種,由乘法法則,就座方式總數(shù)為=28449792000(2)因前排至少需坐6人,最多坐8人,后排也如此??煞殖扇N情況分別討論:①.前排恰好坐6人,入坐方式有種;②.前排恰好坐7人,入坐方式有種;③前排恰好坐8人,入坐方式有11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)種。各類入坐方式互相不同,由加法法則,總的入
4、坐方式總數(shù)為++誤:先選6人坐前排,再選4人坐后排,剩下的4人坐入余下的6個(gè)座位。故總的入坐方式共有種。但這樣計(jì)算無(wú)疑是有重復(fù)的,例如恰好選6人坐前排,其余8人全坐后排,那么上式中的就有重復(fù)。1-1一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排50個(gè)小時(shí)的工作時(shí)間,而且每天至少工作5小時(shí),問(wèn)共有多少種安排方案?(解)是重復(fù)組合問(wèn)題。(1)每周按7天計(jì)算,先要拿出5×7=35小時(shí)平均分配到每一天,再將其余的15小時(shí)安排到7天之中,每天的小時(shí)數(shù)不受限制,則安排方案數(shù)為(2)若每周的工作日按6天計(jì),則問(wèn)題變成在平均分配完5×6=30小時(shí)后,
5、再將余下的20小時(shí)分配到這6天中,但此時(shí)每天最多只能分配19小時(shí)?;蛘吒话?,每天在5小時(shí)外再最多工作小時(shí),那么,答案是多項(xiàng)式=中的系數(shù),其中。(3)另外,設(shè)每周工作t天,每天最少工作5小時(shí),最多工作小時(shí),可以不按照上邊的兩步分配方法求解,而是直接計(jì)算多項(xiàng)式=,中的系數(shù),即得答案。1-2若某兩人拒絕相鄰而坐,問(wèn)12個(gè)人圍圓桌就坐有多少種方式?答11?。?×10?。?×10!1-3有15名選手,其中5名只能打后衛(wèi),8名只能打前鋒,2名能打前鋒或后衛(wèi),今欲選出11人組成一支球隊(duì),而且需要7人打前鋒,4人打后衛(wèi),試問(wèn)
6、有多少種選法?答11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)=40+2×(140+80)+(280+80+2×280)=14001-1求展開(kāi)式中項(xiàng)前的系數(shù)。答==100801-2求的展開(kāi)式。(解)由多項(xiàng)式的展開(kāi)式公式==++++++++++++++=++++++++++++++=++++++++++++++可以驗(yàn)證,系數(shù)之和11/11《組合數(shù)學(xué)》第一章組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1×3+4×6+6×3+12×3=81=1-1求展開(kāi)式中的系數(shù)。答.==8401-2試證任一正整數(shù)n可唯一地表成如下形式:n=,0≤ai≤i,1-3證明n
7、C(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)。并給出組合意義。意義:將n個(gè)人分為3組:一組1人,一組r人,另一組人。一種分法是先從n個(gè)人中選出r+1人,剩下人為一組,再將所選的r+1人分為兩組,一組1人,一組r人。另一種分法是先選一人為一組,再?gòu)钠溆嗟娜酥羞x人為一組,剩下的人為一組。1-4證明=n2n-1。(證)用殊途同歸法。將n個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為A、B、C的3個(gè)盒子,其中要求A盒只放1個(gè)球,其余兩盒的球數(shù)不限。那么,有兩種思路:(1)先從此n個(gè)不同的球中選出1個(gè),放入A盒,再將其余個(gè)球放入另外兩盒,有種放法
8、;(2)先由n個(gè)球中選出k個(gè),再?gòu)乃x的k個(gè)球中選出1個(gè)放入A盒,將其余的k-1個(gè)球放入B盒,所剩的n-k個(gè)球放入C盒,有種放法。當(dāng),各種情況互不重復(fù),且包含了所有放法,故對(duì)k求和,即得等式左端。1-5有n個(gè)不同的整數(shù),從中取出兩組來(lái),要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第二組的最大數(shù),問(wèn)有多少種方案?(解)設(shè)取的第一組數(shù)有a個(gè),第二組有b個(gè),而要求第一組數(shù)中最小數(shù)大于第二組中最大的,即只要從n