第一章 希爾伯特空間

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1、第一章希爾伯特空間§1矢量空間§1.1定義考慮無窮多個同類的數學對象的集合，如果它們之間滿足一定的運算要求，則其構成一個矢量空間一、矢量空間中矢量的運算▲加法運算集合中任意兩個矢量相加都能得到集合中的另一個矢量，即加法規(guī)則視不同對象可以不同。但一定要滿足下列四個條件1.交換律2.結合律3.單位元存在（O為零矢量）4.逆元存在并把記為▲數乘運算集合內任一矢量可以與數（實數或復數）相乘，得出集合內的另一矢量。（一般把數寫在矢量后面）數乘滿足下列四個條件1.單位元2.結合律3.第一分配律4.第二分配律▲內積運算兩

2、個矢量可以作內積得出一個數，記作在實數域（復數域）上的矢量，其內積是實數（復數）。內積與兩個因子的次序有關。內積規(guī)則要滿足下列四個條件1.復共軛2.分配律3.因子結合律4.自內積對任意，有。若我們把具有加法和數乘兩種運算并滿足各自條件的矢量集合稱為矢量空間或線性空間。具有加法、數乘和內積三種運算的空間稱為內積空間?！鴥确e空間的完全性如果對給定任意小的實數,有數N存在。當時，有那么可以定義空間的完全性：空間中任意在Cauchy意義下收斂的序列的極限也必須在此空間中。這樣完全的內積空間是指在Cauchy意義下，

3、內積空間中的序列的極限也在內積空間中。完全的內積空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間。本章中，矢量空間通常指在復數域上的內積空間。二、矢量空間的簡單性質1.零矢量是唯一的[證明]設空間中有二零矢量O1，O2，則將第一式中，第二式中，則利用加法交換律，有所以零矢量是唯一的。2.每個矢量的逆元是唯一的[證明]設中有兩個逆元，則有這樣故逆元是唯一的。3.4.